小波分析里，很容易混淆的一个概念就是小波函数（w avelet function）和尺度函数（scaling function）的关系。本文将不涉及小波分析的由来及发展历史，也不谈小波分析应用，本文主要目标仅是试着解释清楚小波函数和尺度函数两者的关系，同时也解释一些小波分析中的其他必要相关概念。当然，要更好理解小波分析，一些傅里叶变换的知识是必要的。 我们知道，傅里叶变换分三种不同但又紧密相连的形式： 1，积分傅里叶变换，时域频域都连续； 2，傅里叶级数展开，时域连续，频域离散； 3，离散傅里叶变换，时域频域都离散。 同样，在小波分析中，也有三种类似的形式。积分（连续）小波变换（CWT），小波级数展开，以及离散小波变换（DWT）。 先看看连续小波变换，连续小波正变换为[1]： （1） 逆变换为： （2） 其中*号表示复共轭， 为小波基函数（basis fu nction）。 不同小波基函数，都是由同一个基本小波（basic w avelet）ψ (t)，经缩放和平移生成，即： （3） 傅里叶变换把一个信号 f(t)分解为一系列不同频率正弦型信号的叠加，而傅里叶变换系数就代表不同正弦型信号的幅值。其中，所有正弦型基函数都由傅里叶基函数生成。类似于傅里叶基函数，所有小波基函数也由同一个基本小波生成[2]。不同的是，傅里叶基函数是固定的正弦型信号，而基本小波并未指定，需要根据实际的信号形式，在满足基本小波约束条件下进行设计。 可以看到，连续小波变换采用积分形式，而实际应用中，我们计算的都是采样后的信号，也需要通过离散形式来处理和表达，所以更加有用的是时域频域都离散的DWT，离散小波变换。但是离散小波变换的计算将引入三个问题： 1，数据冗余。观察式（1），可以看到，小波变换将一个一维信号变换为二维小波系数。同样，若信号是二维，变换后将得到三维小波系数。这反映了小波变换的优点，变换不仅具有傅里叶变换的频域分辨率，同时具有了时域或空域分辨率。但是一维信号用二维系数来表达，这就意味着必然有很大的冗余性。 2，与数据冗余紧密相连的就是CWT 中无限数量小波的问题。从式（3）中看出，即使我们把平移量 τ 和缩放量 s 都离散化，仍将是一个无限的序列，无法实际应用。矩阵形式表达这个问题就是y=Wx，W 为小波基函数矩阵，x 为小波系数，y 为离散信号向量。这种冗余性表现之一就是W 中列数远多于行数。相比较，傅里叶变换中的W 为一个正交归一矩阵。 3，对大多数信号来说，小波变换得不到...
