小波分析里，很容易混淆的一个概念就是小波函数（w avelet function）和尺度函数（scaling function）的关系
本文将不涉及小波分析的由来及发展历史，也不谈小波分析应用，本文主要目标仅是试着解释清楚小波函数和尺度函数两者的关系，同时也解释一些小波分析中的其他必要相关概念
当然，要更好理解小波分析，一些傅里叶变换的知识是必要的
我们知道，傅里叶变换分三种不同但又紧密相连的形式： 1，积分傅里叶变换，时域频域都连续； 2，傅里叶级数展开，时域连续，频域离散； 3，离散傅里叶变换，时域频域都离散
同样，在小波分析中，也有三种类似的形式
积分（连续）小波变换（CWT），小波级数展开，以及离散小波变换（DWT）
先看看连续小波变换，连续小波正变换为[1]： （1） 逆变换为： （2） 其中*号表示复共轭， 为小波基函数（basis fu nction）
不同小波基函数，都是由同一个基本小波（basic w avelet）ψ (t)，经缩放和平移生成，即： （3） 傅里叶变换把一个信号 f(t)分解为一系列不同频率正弦型信号的叠加，而傅里叶变换系数就代表不同正弦型信号的幅值
其中，所有正弦型基函数都由傅里叶基函数生成
类似于傅里叶基函数，所有小波基函数也由同一个基本小波生成[2]
不同的是，傅里叶基函数是固定的正弦型信号，而基本小波并未指定，需要根据实际的信号形式，在满足基本小波约束条件下进行设计
可以看到，连续小波变换采用积分形式，而实际应用中，我们计算的都是采样后的信号，也需要通过离散形式来处理和表达，所以更加有用的是时域频域都离散的DWT，离散小波变换
但是离散小波变换的计算将引入三个问题： 1，数据冗余
观察式（1），可以看到，小波变换将一个一维信号变换为二维小波系数
同样，若信号是二维，变换后将得到三维小波系数
这反映了小波变换的优点，变换不
