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微分中值定理的证明与应用

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微分中值定理的证明与应用 B09030124 孙吉斌 一 中值定理及证明: 1. 极值的概念和可微极值点的必要条件: 定理 ( Fermat ) 设函数 f 在点0x 的某邻域内有定义,且在点0x 可导,若点0x 为 f 的极值点,则必有 0)(0 xf罗尔中值定理:若函数 f 满足如下条件: (i) f 在闭区间[a,b]上连续;(ii) f 在开区间(a,b)内可导;(iii))()(bfaf, 则在(a,b)内至少存在一点ξ ,使得 f  (ξ )=0。 证明:因为 f 在[a,b]上连续,所以有最大值与最小值,分别用 M与 m表示,现分两种情况讨论:(i)若 M = m , 则 f 在[a,b]上必为常数,从而结论显然成立。 (ii)若 m < M,则因 f (a)=f (b),使得最大值 M与最小值 m至少有一个在(a,b)内某点ξ 处取得,从而ξ 是 f 的极值点,由条件 (ii) f 在点ξ 处可导,故由费马定理推知)(f =0. 注 1:罗尔定理的几何意义:在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等,则至少存在一条水平切线。 注 2:习惯上把结论中的ξ 称为中值,罗尔定理的三个条件是充分而非必要的,但缺少其中任何一个条件,定理的结论将不一定成立。 例如: 2x1,11x2,01|x|,xF(x)x 易见,F在 x=-1不连续,在 x=±1不可导,F(-2)≠F(2), 即罗尔定理的三个条件均不成立,但是在(-2,2)内存在点 ξ , 满足 0)( F 注 3:罗尔定理结论中的ξ 值不一定唯一,可能有一个,几个甚至无限多个,例如: 0x0,0x,sinxf(x )x142在 [-1,1] 上满足罗尔定理的条件,显然0x0,cossin2xsin4x(x )fx1x1x1232在(-1,1)内存在无限多个 nc =)(21znn 使得)(ncf =0。 2、拉格朗日(Lagrange)中值定理:若函数 ƒ满足如下条件:i)ƒ在闭区间[ ba, ]上连续;ii)ƒ在开区间( ba, )内可导;则在(a,b)内至少存在一点ξ ,使得abafbff)()()( 证明此定理要构造辅助函数 )(xF,使得)(xF满足罗尔定理的条件(i)-(iii) 且 abafbfxfxF)()()()(,从而推得b][a,xa),(xabf(a)f(b)f(a)f(x)F(x) 证明:作辅助函数a)(xabf(a)f(b)f(a)f(x)F(x) 显然,F(a)=F(b)(=0),且F在[a,b]上满足罗尔定理的另两个条件,故存在点 ξ (a,b),使得0)()()()(abafbffF 即 abafbff...

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