微分中值定理的证明与应用VIP专享

微分中值定理的证明与应用 B09030124 孙吉斌 一 中值定理及证明： 1. 极值的概念和可微极值点的必要条件: 定理 ( Fermat ) 设函数 f 在点0x 的某邻域内有定义，且在点0x 可导，若点0x 为 f 的极值点，则必有 0)(0 xf罗尔中值定理：若函数 f 满足如下条件： （i） f 在闭区间[a，b]上连续；（ii） f 在开区间（a，b）内可导；（iii）)()(bfaf， 则在（a，b）内至少存在一点ξ ，使得 f  （ξ ）=0。 证明：因为 f 在［a,b］上连续，所以有最大值与最小值，分别用 M与 m表示，现分两种情况讨论：(i)若 M = m , 则 f 在［a,b］上必为常数，从而结论显然成立。 (ii)若 m ＜ M，则因 f (a)=f (b)，使得最大值 M与最小值 m至少有一个在(a,b)内某点ξ 处取得，从而ξ 是 f 的极值点，由条件 (ii) f 在点ξ 处可导，故由费马定理推知)(f =0. 注 1：罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。 注 2：习惯上把结论中的ξ 称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立。 例如： 2x1,11x2,01|x|,xF(x)x 易见，F在 x=-1不连续，在 x=±1不可导，F(-2)≠F（2）, 即罗尔定理的三个条件均不成立，但是在（-2，2）内存在点 ξ , 满足 0)( F 注 3：罗尔定理结论中的ξ 值不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个，例如： 0x0,0x,sinxf(x )x142在 [-1，1] 上满足罗尔定理的条件，显然0x0,cossin2xsin4x(x )fx1x1x1232在（-1，1）内存在无限多个 nc =)(21znn 使得)(ncf =0。 2、拉格朗日（Lagrange）中值定理：若函数 ƒ满足如下条件：i)ƒ在闭区间[ ba, ]上连续；ii）ƒ在开区间( ba, )内可导；则在（a，b）内至少存在一点ξ ，使得abafbff)()()( 证明此定理要构造辅助函数 )(xF，使得)(xF满足罗尔定理的条件（i）-(iii) 且 abafbfxfxF)()()()(，从而推得b][a,xa),(xabf(a)f(b)f(a)f(x)F(x) 证明：作辅助函数a)(xabf(a)f(b)f(a)f(x)F(x) 显然，F（a）=F(b)（=0），且F在[a，b]上满足罗尔定理的另两个条件，故存在点 ξ (a，b)，使得0)()()()(abafbffF 即 abafbff...