辅助函数的几种特殊用法 在高等数学中，证明一些中值等式的题目也是比较困难的。因为一般我们要花大量的时间去找一个恰当的辅助函数，如果我们能熟悉一些特殊类型题目的辅助函数的构造及相关定理的运用，这样就会为我们解题提供方便，从而节约大量的时间。为此我们需要牢记以下几种常见题型中辅助函数的特殊用法。 (1)若题目中出现等式“'( )( )fkf”时，一般可以考虑作辅助函数)()(xfexFkx. 例:设函数f 在[ , ]a b 上可微，且( )( )0f af b证明：kR ，( , )a b，使得'( )( )fkf 分 析 : 要证'( )( )fkf，即 证'( )( )0fkf，也就是证 函数)()(xkfxf的零点.注意到[ ( )]'[ '( )( )]kxkxf x efxkf x e，因此，只要检验函数( )( )kxF xf x e是否满足罗尔中值定理条件，但这是明显的. 证明:构造辅助函数( )( )kxF xf x e，( , )xa b， 则( )F x 在[ , ]a b 上满足罗尔定理条件，故( , )a b，使得0)( F， 而 )()()()()(kffeexkfexfFkxkxkx， 则 [ '( )( )]0kefkf， 即 '( )( )fkf. (2)若题目结论中出现等式“1'( )nAf )0(A”时，可考虑作副主函数( )( )F xf x，( )nG xx. 例:设函数f 在[ , ]a b 上连续，在( , )a b 内可微.证明：( , )a b，使得： 222 ( ( )( ))'( )()f bf afba. 证明: i）若0( , )a b作辅助函数( )( )F xf x，2( )G xx，( )F x ，( )G x 均满足柯西中值定理条件 所以( , )a b使得 22( )( )'( )2f bf afba， 即 222 ( ( )( ))'( )()f bf afba. ii）若0( , )a b，'(0)0,0fab由i）可类似得证. iii）若0( , )a b，'(0)0f，取0 ，即证. (3) 若题目结论中出现“( )'( )ff ” 时 ，可以考 虑 作辅助函数( )( )f xF xx， 1( )G xx. 例:设函数f 在[ , ]a b 上连续)0(a，在( , )a b 内可微.证明： ( , )a b使得1( )'( )( )( )abfff af bab , 证明:因为 2)()()(xxfxfxxxf, 考虑作辅助函数( )( )f xF xx， 1( )G xx，显然 F 与G 在[ , ]a b...
