微分几何陈维桓

1 习题答案1 p.41 习题2.3 1. 求下列曲线的曲率： (2) 323( )3,3 ,3r tttttt；(4) 33( )cos,sin,cos2r tttt. 解. (2) 22( )3 1,2 ,1r tttt，2| ( ) | 3 2 1r tt, ( )6, 1,r ttt, 22( )( )181, 2 ,1r tr ttt t, 2| ( )( ) | 18 21r tr tt, 2213(1)t . (4) 1( )s i n 23 c o s , 3 s i n ,42rtttt ， 5| ( ) ||sin2 |2r tt, 1( )cos23cos ,3sin , 4sin 2 3sin ,3cos ,02r ttttttt,  21( )( )sin 23cos ,3sin , 43sin ,3cos ,04r tr tttttt 23s i n24 c o s ,4 s i n ,34ttt ， 25| ( )( ) |sin 24r tr tt， 225|sin2 |t ，(2(21)tk). 4. 求曲线222229,3xyzxz在2,2,1 处的曲率和密切平面方程. 解. 设曲线的弧长参数方程为( )( ), ( ), ( )r sx sy s z s, (0)2,2,1r，0(0)r，00(0)r . 则( ), ( ), ( )x sy s z s 满足题给的方程组，所以有 2222212,26xyyz. 对上式求导得 22220,20,1xxyyyyzzxyz . (1) 再求导，得 22222(2),2(2),0xxyyxyyyzzyzxxyyzz  . (2) 在2,2,1 处，由(1)解出2xyz ，13x   . 不妨设122333,,xyz . 所以 01, ,1, 2,23x y z . 代入(2)得 2242,,22033xyyzxyz  . 所以 001(0)(0, 1, 1)3r   ，023 ，01 (0, 1, 1)2  . 于是 2 00011(0, 1, 1)(4,1, 1)1, 2,23 23 2 . 所以在2,2,1 处，曲率为02 /3 ，密切平面方程为 4(2)(2)(1)0xyz，即490xyz. 7. 证明：若一条正则曲线在各点的切线都经过一个固定点，则它必定是一条直线. 证明. 设曲线C 的弧长参数方程为( )rr s，它的Frenet 标架为; , ,r    ，曲率和挠率分别为,  . 再设定点为a (常向量). 由条件，a 和( )r s 都在C 的过( )r s 点的切线上，所以( ( ))//( )r sas. 故可设 (...