微分方程求解VIP专享

第一节 微分方程的基本概念 学习目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程 的通解、特解及微分方程的初始条件等 学习重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件 学习难点：微分方程的通解概念的理解 学习内容： 1 、首先通过几个具体的问题来给出微分方程的基本概念。 （1 ）一条曲线通过点（1 ，2 ），且在该曲线上任一点 M（x ,y ）处的切线的斜率为 2 x ，求这条曲线的方程。 解 设曲线方程为)(xyy .由导数的几何意义可知函数)(xyy 满足 xdxdy2 （1 ） 同时还满足以下条件： 1x时，2y （2 ） 把（1 ）式两端积分，得 x dxy2 即 Cxy2 （3 ） 其中 C 是任意常数。 把条件（2 ）代入（3 ）式，得 1C， 由此解出 C 并代入（3 ）式，得到所求曲线方程： 12  xy （4 ） （2 ）列车在平直线路上以 2 0sm/的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0sm.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解 设列车开始制动后 t 秒时行驶了 s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数)(tss 满足： 4.022dtsd （5） 此外，还满足条件： 0t时，20,0dtdsvs （6） (5)式两端积分一次得： 14.0Ctdtdsv （7） 再积分一次得 2122.0CtCts （8） 其中21,CC都是任意常数。 把条件“0t时20v”和“0t时0s”分别代入（７）式和（８）式，得 0 ,2021CC 把21,CC的值代入（7）及（8）式得 ,204.0tv （9） tts202.02  （10） 在（9）式中令0v，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间： )(504.020st。 再把5t代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程 ).(5005020502.02ms 上述两个例子中的关系式（1）和（5）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。 2、 定义 一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系到的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。本章只讨论常微分方程。 微分方程中所出现的求知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程  xyyyyy2sin5'12''10'''44 是四阶微分方程。 一般地，n...