高中数学素材：锁定求解与证明函数单调性的方方面面

锁定求解与证明函数单调性的方方面面山东省利津县第一中学 胡彬 257400函数单调性是基本初等函数的一个重要内容,其掌握的好与坏直接影响到我们将来对函数各个内容的学习.目前应该学会的求解判断与证明函数单调性的方法有三个： 1、定义法：根据增函数、减函数的定义来判别。2、图象法：在直角坐标系中，函数 y=f(x)在某一区间上从左到右图象上升，则 f(x)在该区间上是增函数；相反，图象下降，则 f(x)是减函数。简言为“升增降减”。 3、复合法：其判别法则是增函数的增函数是增函数；增函数的减函数是减函数；减函数的增函数是减函数；减函数的减函数是增函数。简言为：增·增增；增·减减； 减·增减；减·减增。 可类比乘法符号法则来记忆：（+）·（+）=（+）；（+）·（－）=（－）；（－）·（+）=（－）；（－）·（－）=（+）.一.定义法证明函数单调性例 1．（1）已知函数=（），证明函数=在 R 上是单调递增函数.分析：用定义来证明函数单调时必须“分解到底”，每一个因式的符号都必须非常清楚。解析：（1）设且 ∴===， ，， , ，∴ ，∴在 R 上单调递增。评析：解答题中研究、讨论、证明函数单调性其中定义法都是应该优先考虑的方法。特别应该强调的是带有无理式的函数在用定义法进行论证的过程中要注意无理式的有理化.二.图像法求函数单调区间例 2. 求函数的单调区间.分析: 化归为基本函数用图象法解.解:函数 的定义域是。作出该函数的图象如图 1 中的实线。由图可知：函数的单调递减区间是： ；单调递增区间是：用心 爱心 专心 。评注:求函数的单调区间有定义法、图象法，复合法.把复杂的函数化归为基本函数的性质和图象来解决。但要注意选择快法，如本例用图象法是“快法”,其中画图只需画草图.三.定义法求函数单调区间例 2.说出函数（ >0）的单调区间，并给出证明。分析: 设 ，则 = ，欲使这一式子恒大于零或恒小于零，必须对所处的区间进行划分，从而说出单调区间。解:在单调递减，在单调递增。 设，且 ，= = ∴ ∴在单调递减，同理在单调递增。评析：定义法论证函数的单调性与求解函数的单调区间是有明显区别的。一个是题设中没有给定单调区间而要求解;另一个是题设中给定单调区间而要证明.用定义法求解函数的单调区间最后要注意用因式分解后的最简因式对单调区间进行划分 , 划分的依据就是保证恒为正或负. 四. 复合法求函数单调区间 例 3，求函数的单调区间。 解：先作复合映射:...