垂径定理和圆周角专题一、知识梳理1.圆心角与圆周角的关系:同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的国心角的一半.例1:如图,∠A是⊙O的圆周角,且∠A=35°,则∠OBC=_____.例2:如图,圆心角∠AOB=100°,则∠ACB=.例3:(2007威海)如图,是⊙O的直径,点都在⊙O上,若,则º.例4:(2007常德)如图2,⊙O的直径过弦的中点,,则.2.圆周角定理:直径所对的圆周角是直角,反过来,90°的圆周角所对的弦是直径。例5:已知:如图,AD是⊙O的直径,∠ABC=30°,则∠CAD=_______.例6:(2007南京)已知⊙O中,,,则⊙O的半径为._..._D_C_B_A_OBOCAOABC(例4)EFCDGO例5例7:(2006青岛)某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需确定管道圆形截面的半径,下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.(1)请你补全这个输水管道的圆形截面;(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水面最深地方的高度为4cm,求这个圆形截面的半径.二、巩固练习1.(2007浙江温州)如图,已知是⊙O的圆周角,,则圆心角是()A.B.C.D.2.(2007四川宜宾)已知:如图,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,点P是劣弧CD上不同于点C的任意一点,则∠BPC的度数是()A.45°B.60°C.75°D.90°3.(2006·陕西省)△ABC中,∠A=30°,∠B=60°,AC=6,则△ABC外接圆的半径为()A.B.C.D.34.圆的弦长与它的半径相等,那么这条弦所对的圆周角的度数是()A.30°B.150°C.30°或150°D.60°5.(2007上海)小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图5所示,为配到与原来大小一样的圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是()A.第①块B.第②块C.第③块D.第④块6.(2008山东德州)如图所示,AB是⊙O的直径,AD=DE,AE与BD交于点C,则图中与∠BCE相等的角有()A.2个B.3个C.4个D.5个7.(2008浙江台州)下列命题中,正确的是()①顶点在圆周上的角是圆周角;②圆周角的度数等于圆心角度数的一半;③的圆周角所对的弦是直径;④不在同一条直线上的三个点确定一个圆;⑤同弧所对的圆周角相等BEDACOA.①②③B.③④⑤C.①②⑤D.②④⑤8.(2008南京)如图,⊙O是等边三角形的外接圆,⊙O的半径为2,则等边三角形的边长为()A.B.C.D.9.(2006·盐城市)已知四边形ABCD内接于⊙O,且∠A:∠C=1∶2,则∠BOD=.10.(2007山东枣庄)如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD为⊙O的直径,AD=6,则BC=。11.(2008南京)如图,有一圆形展厅,在其圆形边缘上的点处安装了一台监视器,它的监控角度是.为了监控整个展厅,最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台。12.(2008龙岩)如图,量角器外沿上有A、B两点,它们的读数分别是70°、40°,则∠1的度数为。13.(2008海南)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∠BAC=30°,点P在线段OB上运动.设∠ACP=x,则x的取值范围是.14.(2008庆阳)图中外接圆的圆心坐标是.15.(2007山东济宁)如图所示,小华从一个圆形场地的A点出发,沿着与半径OA夹角为α的方向行走,走到场地边缘B后,再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走。按照这种方式,小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上,此时∠AOE=56°,则α的度数是.16.(2007沈阳)如图,已知A、B、C、D是⊙O上的四个点,AB=BC,BD交AC于点E,连接CD、AD.(1)求证:DB平分∠ADC;(2)若BE=3,ED=6,求AB的长.(第8题)ABCO(第11题)A°°OABOCxP17.(2008广东湛江)如图所示,已知AB为⊙O的直径,CD是弦,且ABCD于点E.连接AC、OC、BC.(1)求证:ACO=BCD.(2)若EB=,CD=,求⊙O的直径.18.(2008陕西)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,CB=12,AD是△ABC的角平分线,过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E,连接DE。(1)求证:AC=AE;(2)求△ACD外接圆的半径。1、(2011•牡丹江)已知⊙0的直径AB=40,弦CD⊥AB于点E,且CD=32,则AE的长为()A、12B、8C、12或28D、8或322、(2011•绍兴)如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上.若∠C=16°,则∠BOC的度数是()A、74°B、48°C、32°D、16°1.如图1,⊙O的直径为10,圆心O到弦AB的距离O...