轨迹问题的探究性学习韦辉樑2011/09在中学数学中, 关于轨迹的讨论，主要有两类: "几何轨迹" ---- 是指由一个几何结构中的动点而产生的轨迹图形。"方程的轨迹" ---- 是指由代数方程 f(x, y) = 0 的解集 G={p=(x, y)| f(x, y) =0, xD} 所构成的图像。构成几何轨迹的要素有 3: 几何结构, 主动点, 轨迹点，而轨迹点是受几何结构约束的。构成方程轨迹的要素有 2: 定义域 D 和方程 f(x, y) = 0。 几何轨迹的的学习是初三的课程，方程轨迹的学习是高二的课程，当中包括了用方程来描述几何轨迹的问题 -- 求几何轨迹的方程。研究几何轨迹的方法是: 1. 根据给定的条件, 设计并作出相关的几何结构； 2. 作出轨迹图形。由于初中课程的限制，结果并不要求推导轨迹方程，重要的是设计并作出相关的几何结构。研究方程轨迹的方法是:1. 根据给定的条件, 由公式或其他方法，建立能表达该条件的数学方程 f(x, y) = 0 和定义域 D；2. 解方程、描点，得到轨迹的图像。高中课程的重点是建立方程。建立方程要靠数学思维、数学方法和演译推理，最好还是用人脑纸笔作业。解方程和作图主要是一些大量的重覆而繁琐的工作, 宜借助电脑完成。如果研究的是几何轨迹的方程，则首先要作出相关的几何结构，作出几何轨迹，这有助于建立方程的思考，并对所得方程进行检验 -- 方程轨迹与几何轨迹是否重合。无论是作几何结构或函数图像都要借助工具，下面问题将在 DM_Lab 环境中进行探究。一. 几何轨迹的探究几何轨迹的探究着重在几何结构的设计。下面以 "平面内到两定点距离之“和、差、积、商”为定值的点的轨迹"为例。1. 平面内到两定点距离之和为定值的点的轨迹操 作参 考 图 例说 明方法11. 用作两点 F1和 F2；2. 用以 F1 为心作圆 F1,半径 R> |F1F2|;3. 用在圆周上取一点 A;4. 用作线段 AF1,AF2;5. 用作 AF2 中垂线 BC 交 AF1 于C;6. 选蓝色，用跟踪点 C;7. 用点一下 A 点，建立自动动画。8. 暂存1. 这样的几何结构 需 要 证 明 其 满足给定的条件。易 证 : CF1+CF2 = CF1+CA = R= 定值。2. 可用缩放圆的 半 径 ， 改 变 定值。方法21. 用作两点 F1和 F2;2. 用作线段 AB, 使得:|AB| > |F1F2|3. 用在 AB 上取一点 C;4. 用作线段 AC 和 CB;5. 用作以 F1 为心,AC 为半径的圆 F1;6. 用作以 F2 为心,CB 为半径的圆 F2;7. 用作两圆交点 P1...
