一 拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。 拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻陈旧，出现创新的一个进程。发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。 用现代的语言来描述，在一个自变量x从 x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数 f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和 f(x)的值近似相等，即 f(x + 1) −f(x )1≈0 这就是非常著名的费马定律，当一个函数f(x )在 x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则f ′ x = 0。著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。 在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]内任取两点x 0和x 1，并且函数f x 在此闭区间内是连续的，f ′(x )的最大值为A，f ′ x 最小值为B，则f(x 1)−f(x 0)x 1−x 0的值必须是A和 B之间的一个值。这是拉格朗日定理最初的证明。 下述就是拉格朗日中值定理所要求满足的条件。 如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数 f 在闭区间[a，b]上连续；（2）函数 f 在开区间（a，b）内可导；那么这个函数在此开区间内至少存在着一点 ，使得f′ ξ = f(b)−f(a)b−a. 拉格朗日中值定理是导数的一个延伸概念，在导数运算中是的很基本概念。 例 1：函数f x = 2x 2 −8，即f ′ x = 4x 。当 x 在开区间 0, +∞ 时，有f ′ x > 0，f x 在开区间 0, +∞ 单调递增；当 x 在开区间 −∞, 0 时，有f ′ x <0，f(x)在开区间 −∞, 0 单调递减。在x = 0，有f ′(0) = 0，f 0 = −8。 由上述例子说明，想要确定一个函数的单调性可以通过求得这个函数的一阶导 数 来 求 得 判 断 单调区间。 当 一 个 函 数 在某 个 确 定 的 区间内 ，存 在着f ′ x > 0，f x 在这个确定的区间...
