拉格朗日中值定理与高考数学 [1] 拉格朗日中值定理:若函数f 满足如下条件: (i)f 在闭区间[ , ]a b 上连续; (ii)f 在开区间( , )a b 内可导; 则在,a b 内至少存在一点 ,使得 'f bf afba. 1、证明 f xax或 f xax成立(其中0x ) [2]例:(2007年高考全国卷I第20题) 设函数 xxf xee. (Ⅰ)证明: f x 的导数 '2fx ; (Ⅱ)证明:若对所有0x ,都有 f xax ,则a 的取值范围是(,2]. (Ⅰ)略. (Ⅱ)证明:(i)当0x 时,对任意的a ,都有 f xax (ii)当0x 时,问题即转化为xxeeax对所有0x 恒成立. 令 00xxfxfeeG xxx,由拉格朗日中值定理知0, x 内至少存在一点 (从而0 ),使得 '00fxffx,即 'G xfee,由于 ''000feeee,故 'f 在0, x 上是增函数,让0x 得 ''min02G xfeef,所以 a 的取值范围是(,2]. 评注:第(2)小题提供的参考答案用的是初等数学的方法.即令 g xf xax,再分2a 和2a 两种情况讨论.其中,2a 又要去解方程 '0gx .但这有两个缺点:首先,为什么a 的取值范围要以2 为分界展开.其次,方程 '0gx 求解较为麻烦.但用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨论,省去麻烦. 二、证明 2(),2abg ag bgbaba成立 例:(2004年四川卷第22题) 已知函数 ln (1),lnf xxx g xxx. (Ⅰ)求函数 f x 的最大值; (Ⅱ)设02aba,证明: 2()ln 22abg ag bgba. (Ⅰ)略; (Ⅱ)证明:依题意,有 'ln1gxx 2222abababg ag bgg bggg a 由拉格朗日中值定理得,存在,,,22ababab,使得 ''lnln2222ababbabag bggg agg•• 4lnlnlnln 2222b...