拉格朗日中值定理与高考数学VIP专享

拉格朗日中值定理与高考数学 [1] 拉格朗日中值定理：若函数f 满足如下条件： （i）f 在闭区间[ , ]a b 上连续； （ii）f 在开区间( , )a b 内可导； 则在,a b 内至少存在一点 ，使得    'f bf afba. 1、证明 f xax或 f xax成立（其中0x ） [2]例：（2007年高考全国卷I第20题） 设函数 xxf xee. （Ⅰ）证明： f x 的导数 '2fx ； （Ⅱ）证明：若对所有0x ，都有  f xax ，则a 的取值范围是(,2]. （Ⅰ）略. （Ⅱ）证明：（i）当0x 时，对任意的a ，都有  f xax (ii)当0x 时，问题即转化为xxeeax对所有0x 恒成立. 令    00xxfxfeeG xxx，由拉格朗日中值定理知0, x 内至少存在一点 （从而0 ），使得   '00fxffx，即   'G xfee，由于 ''000feeee，故 'f 在0, x 上是增函数，让0x  得   ''min02G xfeef，所以 a 的取值范围是(,2]. 评注：第(2)小题提供的参考答案用的是初等数学的方法.即令   g xf xax，再分2a 和2a  两种情况讨论.其中，2a 又要去解方程 '0gx .但这有两个缺点：首先，为什么a 的取值范围要以2 为分界展开.其次，方程 '0gx 求解较为麻烦.但用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨论，省去麻烦. 二、证明  2(),2abg ag bgbaba成立 例：（2004年四川卷第22题） 已知函数  ln (1),lnf xxx g xxx. （Ⅰ）求函数 f x 的最大值； （Ⅱ）设02aba，证明：  2()ln 22abg ag bgba. （Ⅰ）略； （Ⅱ）证明：依题意，有 'ln1gxx     2222abababg ag bgg bggg a 由拉格朗日中值定理得，存在,,,22ababab，使得     ''lnln2222ababbabag bggg agg•• 4lnlnlnln 2222b...