2024年自主招生第1讲 集合VIP免费

第1讲集合“交、并、补”是集合的三种运算。它们的含义可以用“且、或、非”来理解。这对于运用集合语言描述数学现象,或解读运用集合语言描述的问题都有帮助。集合及其运算还有如下一些常用的性质和公式：若，则;若,则；;;[I［Ｉ［Ｉ;[I[I［Ｉ．容斥原理在需要对某一个有限集合的元素进行记数时,为了便于计算,常常通过计算它的若干个子集的元素个数来实现。实质是将整体计数问题转化为局部计数问题。我们将此类计数公式通称为容斥原理。“容”意指这些子集的并集是原集合,“斥”意指这些子集中两两交集不是空集时，需要将重复的元素个数排斥掉。通常以表示有限集合中元素的个数,参照Venｎ图可以得到如下计数公式:例题精讲例1.已知数集，。若，求实数的值。分析两个集合相等是指这两个集合的元素完全相同。由集合中元素的互异性及无序性,集合中三个元素有且仅有一个为1。椐此可求出，进而求出。解由，得。由集合中三个元素有且仅有一个为１，得，。由,得。因此,所求实数为或。例2.集合的关系是(）分析1通过化简,认识这两个集合中元素的特征，进而作出判断。解1,而可取任意整数,得集合表示4的倍数的集合，即,,设，得。所以,，应选。分析2本题供选择的结论中，均为两集合之间的包含关系。证明集合之间包含关系的一般方法是“若,则”;证明集合相等关系的一般方法是“若则”。解２.若。设，则。若。设,则。由。所以应选。例３.不大于1000的自然数中，既不是３的倍数，也不是5的倍数共有多少个?分析若不大于１000的自然数集合为全集,其中３的倍数的集合为，5的倍数的集合为。则要求的是|［I|。解设不大于100０的自然数集合为全集,其中3的倍数的集合为,5的倍数的集合为,则。因此,。所以，不大于1000的自然数中，既不是3的倍数，也不是5的倍数共有｜[I|（个）。例4.设，,，,是平面内的点集,讨论是否存在使得（1);（２)同时成立。（１986年全国高考题）分析首先应对题中的集合语言进行解读。,意为由集合分别表示的两个方程组成的方程组有整数解；，则给出了的允许值范围。解集合可分别化简为，。,仅当且时，，方程组有解。此时，原方程组的解为由于,原方程组的解不是整数解,所以满足条件的实数不存在。例5．一次会议有2005位数学家参加，每人至少有133７位合作者，求证:可以找到4位数学家,他们中每两人都合作过。分析按题意，可以构造一种选法,找出符合条件的四位数学家。解由题意，可任选两位合作过的数学家,设与合作过的数学家的集合为，与合作过的数学家的集合为。则,。又。于是，。因此,在集合中,有数学家且不是。从中选出数学家，并设与合作过的数学家的集合为。则，。于是,因此，在集合中,有数学家且不是。又可从中选出数学家。则数学家，他们中每两人都合作过。即原命题得证。子集例６.求满足的集合的个数。分析本题要求的是集合中，必定含有元素的子集的个数,只要求出集合的子集数。解由集合的子集数为,得所求集合的个数为８。例７．已知集合,对，定义为中所有元素之和。求全体的总和。分析要求出全体的总和,只要求出每个元素出现的次数。解由集合元素的互异性,得集合中某个元素在总合中出现的次数，就是集合中含有该元素的子集数。所以,全体的总和。例８.在某次竞选中，各个政党共作出种不同的诺言,任何两个政党都至少有一种公共诺言，但没有两党作出完全相同的诺言。试证明，政党的数目不多于个。（１972年加拿大数学竞赛）分析这是一道有实际背景的问题。首先应选择适当的数学模型刻画这一问题。由题意，将“诺言”作为元素,运用集合进行分析和研究。证明将种不同的诺言构成集合，则每一个政党所作的诺言构成的集合是集合的子集。因而政党数应不大于集合的子集数。又任何两个政党都至少有一种公共诺言，所以任何两个政党所对应的子集不可能是一对互补的子集。故政党数。例９.证明：任意一个有限集的全部子集可以这样排列顺序,使得任何两个相邻的子集仅相差一个元素。分析本题可采用构造方法进行证明，即对任意一个有限集的全部子集给出一个排列方法,满足题设的要求。为此，可从特殊情况入手进行探索。若有限集元素的个数时,子集数为2，可排列为；当时,子集数为2２，可排列为；当...