插值法第二次程序题

插值法 题目1：对Runge 函数22511)(xxR在区间[-1,1]作下列插值逼近，并和R(x)的图像进行比较，并对结果进行分析。 (1)用等距节点，200,1.0,-1ihihxi绘出它的20 次 Newton 插值多项式的图像。 (2)用节点）20，，2,1，0（,）4212cos(iixi，绘出它的20 次 Lagrange插值多项式的图像。 (3)用等距节点，200,1.0,-1ihihxi绘出它的分段线性插值函数的图像。 (4)用等距节点，200,1.0,-1ihihxi绘出它的三次自然样条插值函数的图像。 程序及分析： (1)用等距节点，200,1.0,-1ihihxi绘出它的20 次 Newton 插值多项式的图像。 Matlab 程序如下： %计算均差 x=[-1:0.1:1]; n=length(x); syms z for i=1:n y(i)=1/(1+25*x(i)*x(i)); end N=zeros(n,n); N(:,1)=y'; for j=2:n for k=j:n N(k,j)=(N(k,j-1)-N(k-1,j-1))/(x(k)-x(k-j+1)); end end for t=1:n c(t)=N(t,t) end %构造插值多项式 f=N(1,1); for k=2:n a=1; for r=1:(k-1) a=a*(z-x(r)); end f=f+N(k,k)*a; end %作图 a=[-1:0.001:1]; n=length(a); for i=1:n b(i)=1/(1+25*a(i)*a(i)); end fx=subs(f,z,a); subplot(2,1,1); plot(a,b,'k',a,fx,'r'); c=[-0.6:0.001:0.6]; n=length(c); for i=1:n d(i)=1/(1+25*c(i)*c(i)); end fx=subs(f,z,c); subplot(2,1,2); plot(c,d,'k',c,fx,'r'); 结果与分析： 由下图可以看出，在区间[-0.6,0.6]上，插值多项式可以很好的逼近被插值函数。而在边界附近，插值多项式与被插值函数的差别很大。即出现了Runge现象。 主要原因是被插值函数的任意阶导数不能达到一致有界。其插值余项)()!1()()（1)1(xnfxRnnn不趋近零。插值多项式不能收敛到被插值函数。 (2 ) 用节点）20，，2,1，0（,）4212cos(iixi，绘出它的20 次Lagrange插值多项式的图像。 Matlab 程序如下： clear; %插值点 for i=1:21 x(i)=cos((2*(i-1)+1)*pi/42); end n=length(x); for i=1:n y(i)=1/(1+25*x(i)*x(i)); end %构造插值基函数 syms z; temp=1; for i=1:n lx=1; for j=1:n if i~=j temp=(z-x(j))/(x(i)-x(j)); Runge 函数 插值多项式 lx=lx*temp; end end l(i)=lx; end %插值多项式 l=l'; L=y*l; %作图 a=[-1:0.01:1]; n=length(a); for i=1:n b(i)=1/(1+25*a(i)*a(i)); end fx...