精品文档---下载后可任意编辑第十单元 无穷级数一、无穷级数的概念与性质 1、无穷级数：，简称级数
其中 un称为通项，也叫一般项
为级数的前 n 项的部分和
收敛：存在，且称为级数的和
发散：不存在
数项级数：中的每项 un均为常数
函数项级数：中的项 un不全为常数
2、基本性质 性质 1、若收敛于 S，则收敛于 kS； 若发散，k≠0，则也发散
性质 2、若与皆收敛，则也收敛
性质 3、在前面部分去掉或添上有限项，不改变级数的收敛性
性质 4、收敛级数加括号后所得的级数仍收敛于原级数的和
性质 5、（收敛的必要条件）若收敛，则必有
说明：并不能保证一定收敛
推论：，则必定发散
三个标准级数：精品文档---下载后可任意编辑（1）等比级数：（2）p—级数：（3）调和级数： 例 1 若级数收敛，记，则（ B ） 例 2 若级数收敛，则下列级数不收敛的是（ B ） 例 3 判定的收敛性
解：因 所以，收敛，且收敛于
二、正项级数 1、定义：若中的每一项 un≥0，（n=1，2，…）则称为正项级数
2、比较判别法（审敛法） 若与皆为正项级数，且 0≤un≤vn(n=1,2,…),则精品文档---下载后可任意编辑（1）当收敛时，必收敛； （大敛小必敛）（2）当发散时，必发散； （小散大必散） 3、比值判别法设为正项级数，且，则（1）当 ρ1 时，发散；（3）当 ρ=1 时，此法失效
说明：（1）un中含 n
时，用比值法较为方便；（2）利用比较法时，要先有个初步估量，然后选择一个标准级数与之比较
4、极限形式的比较判别法 设与皆为正项级数，且，则与的收敛性相同
例 1 设与都是非功过正项级数，且 un≤vn(n=1,2,…),则下列命题正确的是 （ D ） 例 2 判定级数的收敛性
解：因精品文档---下载后可任意编辑 所以级数发散
（推论）例 3 判定的收
