第十单元----无穷级数

精品文档---下载后可任意编辑第十单元 无穷级数一、无穷级数的概念与性质 1、无穷级数：，简称级数。其中 un称为通项，也叫一般项。为级数的前 n 项的部分和。收敛：存在，且称为级数的和。发散：不存在。数项级数：中的每项 un均为常数。函数项级数：中的项 un不全为常数。 2、基本性质 性质 1、若收敛于 S，则收敛于 kS； 若发散，k≠0，则也发散。 性质 2、若与皆收敛，则也收敛。 性质 3、在前面部分去掉或添上有限项，不改变级数的收敛性。 性质 4、收敛级数加括号后所得的级数仍收敛于原级数的和。 性质 5、（收敛的必要条件）若收敛，则必有。 说明：并不能保证一定收敛。 推论：，则必定发散。 三个标准级数：精品文档---下载后可任意编辑（1）等比级数：（2）p—级数：（3）调和级数： 例 1 若级数收敛，记，则（ B ） 例 2 若级数收敛，则下列级数不收敛的是（ B ） 例 3 判定的收敛性。 解：因 所以，收敛，且收敛于。二、正项级数 1、定义：若中的每一项 un≥0，（n=1，2，…）则称为正项级数。 2、比较判别法（审敛法） 若与皆为正项级数，且 0≤un≤vn(n=1,2,…),则精品文档---下载后可任意编辑（1）当收敛时，必收敛； （大敛小必敛）（2）当发散时，必发散； （小散大必散） 3、比值判别法设为正项级数，且，则（1）当 ρ<1 时，收敛；（2）当 ρ>1 时，发散；（3）当 ρ=1 时，此法失效。说明：（1）un中含 n!时，用比值法较为方便；（2）利用比较法时，要先有个初步估量，然后选择一个标准级数与之比较。4、极限形式的比较判别法 设与皆为正项级数，且，则与的收敛性相同。例 1 设与都是非功过正项级数，且 un≤vn(n=1,2,…),则下列命题正确的是 （ D ） 例 2 判定级数的收敛性。解：因精品文档---下载后可任意编辑 所以级数发散。 （推论）例 3 判定的收敛性。解：因 所以收敛。例 4 判定级数（a>0,a≠e）的收敛性。解： 故当 a>e 时，收敛； 0