根与系数的关系

根与系数的关系 一、知识要点 对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 总有 x1+x2=-，x1·x2=，其中x1、x2 是方程的两根。 它的逆定理也是成立的，即如果两个数x1 和x2，满足x1+x2=-，x1·x2=，那么x1, x2 是方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根.这是根与系数的关系定理，又称韦达定理. 二、例题分析 1 、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值 例1、已知方程x2-6x+m2-2m+5=0 一个根为2，求另一个根及m 的值 分析：本题通常有两种做法，一是根据方程根的定义，把x=2 代入原方程，先求出m 的值，再通过解方程求另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及m 的值. 解法一：把x=2 代入原方程，得 22-6× 2+m2-2m+5=0 即 m2-2m-3=0 解得m1=3 m2=-1 当m1=3 m2=-1 时，原方程都化为 x2-6x+8=0 ∴x1=2 x2=4 ∴方程的另一个根为4，m 的值为3 或-1. 解法二：设方程的另一个根为x. 则 ∴或 2 、判别一元二次方程两根的符号. 例1、不解方程，判别 2x2+3x-7=0 两根的符号 分析：因为二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可求根的判别式△，但△只能用于判定根存在与否，若判定根的正负，则需要考察 x1·x2 或 x1+ x2 的正负情况. 解： △=32-4×2×(-7)=65>0 ∴方程有两个不相等的实数根 设方程的两个根为 x1, x2， x1·x2==-<0 ∴原方程有两个异号的实数根。 说明：判别根的符号，需要“根的判别式”，“根与系数的关系”结合起来进行确定.另外本题中 x1·x2﹤0，可判定根为一正一负， 若 x1·x2>0，仍需考虑 x1+ x2 的正负，从而判别是两个正根还是两个负根. 例 2、当 m 为什么实数时，关于 x 的二次方程 mx2-2(m+1)x+m-1=0 的两个根都是正数。 分析：正、负根的问题应这样想：如正数根，应确保两根之和大于零，两根之积大于零，根的判别式大于等于零。 解：设方程的二根为 x1, x2，且 x1>0, x2>0， 则有 由 △=[-2(m+1)]2-4m(m-1)≥ 0 解得：m≥ - m≠ 0, ∴m>0 或 m<0， ∴上面不等式组化为： ⑴或 ⑵ 由⑴得 m>1 ⑵不等式组的解集为空集.∴m>1 ∴当 m>1 时，方程的两个根都是正数。 说明：当二次项系数含有字母时，不要忘记 a≠ 0 的条件。 例3、k 为何值时，方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0 （1）两根互为相反数 （2）两根互为倒数 （3）有一根为零，另一根不为零。 分析：两根“互为相反数”、“互为倒...