根与系数的关系知识点及综合应用

鹿邑前沿教育 根与系数的关系知识点及综合应用 一、一元二次方程根与系数的关系 （1） 若方程02cbxax (a≠0)的两个实数根是x1，x2， 则x1+x2= - ab，x1x2= ac （2） 若一个方程的两个根为x1,，x2，那么这个一元二次方程为  021212xxxxxxa (a≠0) 二、根与系数的关系的应用： （1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根； （2）判别一元二次方程两根的符号。 例1：不解方程，判别方程两根的符号。 分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定 或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定 或的正负情况。 解： ，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0 ∴方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个根为， ＜0 ∴原方程有两个异号的实数根。 说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。 鹿邑前沿教育 （3）求根及未知数字母系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数字母系数. 例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。 分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。 解法一：把代入原方程，得： 即 解得 当时，原方程均可化为： ， 解得： ∴方程的另一个根为4，的值为3 或—1。 解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得： ， ，∴把代入，可得： ∴把代入，可得：， 即 解得 ∴方程的另一个根为4，的值为3 或—1。 鹿邑前沿教育 说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。 （4）求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x1 和x2 的代数式的值， 根与系数关系常用的转化关系： x12 + x22 =(x1+x2)2 - 2x1x2 ；211x1x=2121xxxx  ；（x1+a）(x2+a)=x1x2+a(x1+x2)+a2； （x1-x2）2=(x1+x2)2-4x1x2 ；∣x1-x2∣= 212214xxxx （5） 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一...