椭圆知识点总结

【椭圆】 一、椭圆的定义 1、椭圆的第一定义：平面内一个动点 P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121FFaPFPF ，这个动点 P 的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。 注意：若)(2121FFPFPF，则动点 P 的轨迹为线段21FF； 若)(2121FFPFPF，则动点 P 的轨迹无图形。 二、椭圆的方程 1、椭圆的标准方程（端点为 a、b，焦点为 c） （1）当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程：12222 byax)0( ba，其中222bac； （2）当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程：12222 bxay)0( ba，其中222bac； 2、两种标准方程可用一般形式表示：221xymn 或者 mx2+ny2=1 三、椭圆的性质（以12222 byax)0( ba为例） 1 、对称性： 对于椭圆标准方程12222 byax)0( ba：是以 x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 2 、范围： 椭圆上所有的点都位于直线ax和by所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足ax，by。 3 、顶点： ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆12222 byax)0( ba与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1aA ，)0,(2 aA，),0(1bB，),0(2bB。 ③线段21AA，21BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，aAA221，bBB221。a 和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4 、离心率： ① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作acace 22。 ② 因为)0( ca，所以e的取值范围是)10( e。e越接近 1，则c 就越接近a ，从而22cab越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于 0，c 就越接近 0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当ba 时，0c，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为ayx22。 ③ 离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。 注意：椭圆12222 byax的图像中线段的几何特征（如下图）： ePMPFPMPF2211 )2(21aPFPF )2(221caPMPM 5 、椭圆的第二定义： 平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离的比为常数 e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆（edPF ||）。 即：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形，也即上图中有ePMPFPMPF2211。 ①焦点在 x 轴...