1 关于焦点三角形与焦点弦 （1）椭圆上一点P 与两个焦点12,FF 所构成的12PF F称为焦 点 三 角 形 。 设12F PF，则有： ① 21 2cos1brr ，当12rr（即P 为短轴顶点）时， 最大， 此时222cosbca ② 12PF F的面积221 201sinsintan21cos2bSrrbc y 当0yb（即P 为短轴顶点）时，S 最大，且maxSbc 1F 1F ③ 22212bcPF PFb （2）经过焦点1F 或2F 的椭圆的弦AB ，称为焦 点 弦 。 设1122( ,),(,)A xyB xy，AB 的中点为00(,)M xy， 则弦长1202()22ABae xxaex （左焦点取“+”，右焦点取“-”） 当ABx轴时，AB 最短，且22min2bABa 关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法 1 联 立 方 程 法 ： 联立直线和椭圆方程，消去 y ，得到关于x 的一元二次方程， 设交点坐标为1122( ,), (,)xyxy，则有0，以及1212,xxx x，还可进一步求出1212,yyy y。在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法 2 点差法： 设交点坐标为1122( ,), (,)xyxy代入椭圆方程，并将两式相减，可得2121221212bxxyyxxayy ，在涉及斜率、中点、范围等问题时，常用此法 典例剖析 1 求 椭 圆 的 标 准 方 程 2F 1F P 2F 1F A B 2 【例2】设椭圆222210xyabab的左焦点为F ，上顶点为A，过A点作AF 的垂线分别交椭圆于P ，交x 轴于Q ，且85APPQ （1）求椭圆的离心率。 （2）若过,,A F Q 三点的圆恰好与直线330xy 相切，求椭圆的方程。 【 解 】（ 1） 由 已 知 可 得 ： 2(, 0 ),(0 ,),(, 0 )bFcAbQ c 由85APPB可 得 ：285(,)1 31 3bbPcc ， 将 P 点 坐 标 代 入 椭 圆 方 程 可 得 ： 232bac 。 即 22231232022aceeeac （ 2） 由 （ 1） 得 ：(3 , 0 )Qc， 圆 心为 ( , 0 )c， 半径2rc 于是有：3212ccc (圆 心到直线距离)， 所以 2 ,3ab。 故椭 圆 方 程 为：22143xy 【例4】已知椭圆的中心在原点O ，短轴长为22 ，右准线交x 轴于点A，右焦点为F ，且2OFFA，过点A的直线l 交椭圆于,P Q 两点 （1）求椭圆的方程 （2）若0OP OQ，求直线l 的方程 （4）求OPQ 的最大面积 【 解 】（ 1）2263 , 0cbaA...
