1第六章 参数估计 习题6 .1 1． 设X1, X2, X3 是取自某总体容量为3 的样本，试证下列统计量都是该总体均值µ 的无偏估计，在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？ （1）3211613121ˆXXX++=µ； （2）3212313131ˆXXX++=µ； （3）3213326161ˆXXX++=µ． 证：因µµµµµ=++=++=613121)(61)(31)(21)ˆ(3211XEXEXEE， µµµµµ=++=++=313131)(31)(31)(31)ˆ(3212XEXEXEE， µµµµµ=++=++=326161)(32)(61)(61)ˆ(3213XEXEXEE， 故321ˆ,ˆ,ˆµµµ都是总体均值µ 的无偏估计； 因2222321136143619141)Var(361)Var(91)Var(41)ˆVar(σσσσµ=++=++=XXX， 2222321231919191)Var(91)Var(91)Var(91)ˆVar(σσσσµ=++=++=XXX， 222232132194361361)Var(94)Var(361)Var(361)ˆVar(σσσσµ=++=++=XXX， 故)ˆVar()ˆVar()ˆVar(312µµµ<<，即2ˆµ 有效性最好，1ˆµ 其次，3ˆµ 最差． 2． 设X1, X2, …, Xn 是来自Exp(λ)的样本，已知 X 为1/λ的无偏估计，试说明X/1是否为λ的无偏估计． 解：因X1, X2, …, Xn 相互独立且都服从指数分布 Exp(λ)，即都服从伽玛分布 Ga(1, λ)， 由伽玛分布的可加性知∑==niiXY1服从伽玛分布 Ga(n, λ)，密度函数为 01 e)()(>−−ΙΓ=yynnYynypλλ， 则λλλλλλλ1)1()(e)(e)(110201−=−Γ⋅Γ=Γ=Γ⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∞+−−∞+−−∫∫nnnnndyynndyynynYnEXEnnynnynn， 故X/1不是λ的无偏估计． 3． 设θˆ是参数θ 的无偏估计，且有0)ˆ(Var>θ，试证2)ˆ(θ不是θ 2 的无偏估计． 证：因 θθ=)ˆ(E，有2222)ˆVar()]ˆ([)ˆVar(])ˆ[(θθθθθθ>+=+=EE，故2)ˆ(θ不是θ 2 的无偏估计． 4． 设总体X ~ N (µ , σ 2)，X1, …, Xn 是来自该总体的一个样本．试确定常数c 使 ∑=+ −niiiXXc121)(为σ 2 的无偏估计． 解：因E[(Xi + 1 − Xi )2 ] = Var (Xi + 1 − Xi ) + [E(Xi + 1 − Xi )]2 = Var (Xi + 1) + Var (Xi ) + [E(Xi + 1) − E(Xi )]2 = 2σ 2， 2则2211211121)1(22)1(])[()(σσ−=⋅−⋅=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−∑∑−=+−=+ncncXXEcXXcEniiiniii， 故当)1(21−=nc时，21121)(σ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−∑−=+niiiXXcE，即∑−=+ −1121)(niiiXXc是σ 2 的无偏估计． 5． 设X1, X2, …, Xn 是来自下列总体中抽取的简单样本， ⎪⎩⎪⎨...
