1 习题七 1.设总体X 服从二项分布b（n，p），n 已知，X1，X2，…，Xn 为来自X 的样本，求参数p 的矩法估计. 【解】1(),(),E Xnp E XAX因此np= X 所以p 的矩估计量 ˆXpn 2.设总体X 的密度函数 f（x,θ）=22 (),0,0,.xx其他 X1，X2，…，Xn 为其样本，试求参数θ的矩法估计. 【解】23022022()()d,233xxE Xxxx 令 E(X)=A1= X ,因此3= X 所以θ的矩估计量为 ^3 .X 3.设总体X 的密度函数为f（x，θ），X1，X2，…，Xn 为其样本，求θ的极大似然估计. （1） f（x，θ）=,0,0,0.exxx （2） f（x，θ）=1,01,0,.xx其他 【解】（1） 似然函数111( , )ee eniiinnxxnniiiLf x 1lnlnniigLnx 由1ddln0ddniigLnx知 1ˆniinx 2 所以θ的极大似然估计量为1ˆX . (2) 似然函数11,01nniiiLxx,i=1,2,…,n . 1lnln(1)lnniiLnx 由1dlnln0dniiLnx知 11ˆlnlnnniiiinnxx 所以θ的极大似然估计量为 1ˆlnniinx 4.从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取 10 人的收益率数据，结果如下： 序号 2345678910 收益率 .01 -0.11 -0.12 -0.09 -0.13 -0.3 0.1 -0.09 -0.1 -0.11 求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值. 【解】 0.094x 0.101893s 9n 0.094.EXx 由222221()()[ ()] ,()niixE XD XE XE XAn 知222ˆˆ[ ()]E XA ,即有 10222211ˆˆ[ ()][10() ]10iiAE XXX 于是 9ˆ0.90.101890.096610s 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94 和 0.966. 5. 随 机 变 量 X 服 从 ［ 0 ， θ］ 上 的 均 匀 分 布 ， 今 得 X 的 样 本 观 测 值 ：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计. 【解】(1) ()2E X,令()E XX，则 3 ˆ2X 且ˆ( )2 ()2 ()EE XE X, 所以θ的矩估计值为 ˆ22 0.61.2x 且ˆ2X 是一个无偏估计. (2) 似然函数8811...
