求值域的10种方法

第1页 共 12页 求函数值域的十种方法 一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1．求函数1yx 的值域。 【解析】 0x ，∴11x  ，∴函数1yx 的值域为[1,) 。 【练习】 1．求下列函数的值域： ①32( 11)yxx ； ②xxf42)(； ③1 xxy； ○411 2  xy，2,1,0,1x。 【参考答案】①[ 1,5]；②[2,) ；③(,1)(1,) ；○4 { 1,0,3}。 二 ．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如2( )( )( )F xafxbf xc的函数的值域问题，均可使用配方法。 例2．求函数 242yxx （[ 1,1]x  ）的值域。 【解析】 2242(2)6yxxx  。 11x ，∴ 321x   ，∴21(2)9x，∴23(2)65x  ，∴ 35y 。 ∴函数 242yxx （[ 1,1]x  ）的值域为[ 3,5]。 例3．求函数)4,0(422xxxy的值域。 【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设： )0)((4)(2xfxxxf配方得：)4,0(4)2()(2xxxf利用二次函数的相关知识得 4,0)(xf，从而得出： 0,2y。 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：0)(xf。 例4．若,42yx0,0yx，试求yxlglg的最大值。 第2页 共 12页 【分析与解】本题可看成第一象限内动点( , )P x y 在直线42yx上滑动时函数xyyxlglglg的最大值。利用两点(4,0) ，(0,2)确定一条直线，作出图象易得： 2(0,4),(0,2),lglglglg[ (42 )]lg[ 2(1)2]xyxyxyyyy而，y=1 时，yxlglg取最大值2lg。 【练习】 2．求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142xxy； ②]4,3[,142xxxy； ③]1,0[,142xxxy； ④]5,0[,142xxxy；○5xxxy422，]4,41[x；○6223yxx。 【参考答案】①[ 3,) ；②[ 2,1]；③[ 2,1]；④[ 3,6]；○573[6,]4；○6 [0,2] 三 ．反函数法 ：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。 适用类型：分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函数类型...