求数列通项公式的类型和方法 研究数列的通项公式是数列的基本问题之一,下面就如何求数列的通项公式,总结如下: 一、给出数列的前几项,求数列的一个通项公式——观察法。 例 1、分别写出下面数列{na }的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数。 (1)1,3,5,7,…,na ,… (2)1,2,1,2,…, na ,… (3)2,22,222,2222,…, na ,… 解析:从各项共性的组合特征入手,通过观察、归纳、猜想总结出数列的通项公式,即为观察法。 (1)21nna (2)3122( 1)nna (3)2 (1)9 1 0 nna 二、涉及前n项和nS 求通项公式,利用nnaS与的基本关系式来求。即 1S (n=1) na 1nnSS (n≥2) 例2、在数列{an}中,Sn 表示其前n项和,且 Sn=n2,求通项an. 解:当n=1时,a1=S1=1. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1 又a1=1=2×1-1,故an=2n-1(n≥1). 例3、在数列{an}中,Sn表示其前n项和,且Sn=2-3an,求通项an. 解:n=1 时,11123aSa 112a n≥2时,由Sn=2-3an, 得 Sn-1=2-3an-1 两式相减 得 Sn-Sn-1=an=-3(an-an-1) (n≥2), 整理,得4an=3an-1, 即(n≥2). 1 1111223( )4a 所以数列{an}是以a1=12为首项,以 34 为公比的等比数列, 故得 1123( )4nna. 三、已知递推公式(初始条件与递推关系),求通项公式。 1、待定系数法。 若题目特征符合递推关系式a1=A,an+1=Ban+C(A,B,C均为常数,B≠1,C≠0)时,可用待定系数法构造等比数列求其通项公式。 例4、已知数列{an}满足a1=4,an=3an-1-2,求通项an. 解 : 由可 设 即 2t=-2得t=-1 即, 可知数列{an-1}是以a1-1=3为首项,以3为公比的等比数列,由等比数列的通项公式,得,所以数列{an}的通项公式为+1. 2、逐差相加法。 若题目特征符合递推关系式a1=A(A为常数),an+1=an+f(n)时,可用逐差相加法求数列的通项公式。 例5、在数列{an}中,a1=3,an+1=an+2n,求通项 an. 解:由an+1=an+2n, 得 an+1-an=2n, 则有 将这n-1 个等式相加, ……… 得: , 故所求数列的通项公式为. 3、逐比连乘法。 若题目特征符合递推关系式a1=A(A为...