求数列通项公式的类型和方法(原创修正版)

求数列通项公式的类型和方法 研究数列的通项公式是数列的基本问题之一，下面就如何求数列的通项公式，总结如下： 一、给出数列的前几项，求数列的一个通项公式——观察法。 例 1、分别写出下面数列{na }的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数。 （１）１，３，５，７，…，na ,… (２)１,２,１,２,…, na ,… (３)２,２２,２２２,２２２２,…, na ,… 解析：从各项共性的组合特征入手，通过观察、归纳、猜想总结出数列的通项公式，即为观察法。 （1）21nna  （2）3122( 1)nna  （3）2 (1)9 1 0 nna  二、涉及前ｎ项和nS 求通项公式，利用nnaS与的基本关系式来求。即 1S (ｎ＝１) na  1nnSS (n≥2) 例２、在数列｛an｝中，Sn 表示其前ｎ项和，且 Sn=n2,求通项an. 解：当ｎ＝１时，ａ１＝Ｓ１＝１. 当ｎ≥２时，ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１＝ｎ２－(ｎ－１)２＝２ｎ－１ 又ａ１＝１＝２×１－１，故ａｎ＝２ｎ－１(ｎ≥１). 例３、在数列｛ａｎ｝中，Ｓｎ表示其前ｎ项和，且Ｓｎ＝２－３ａｎ,求通项ａｎ. 解：n=1 时，11123aSa 112a n≥2时，由Ｓｎ＝２－３ａｎ, 得 Ｓｎ－１＝２－３ａｎ－１ 两式相减 得 Ｓｎ－Ｓｎ－１＝ａｎ＝－３(ａｎ－ａｎ－１) (ｎ≥２), 整理，得４ａｎ＝３ａｎ－１, 即(ｎ≥２). 1 1111223( )4a 所以数列｛ａｎ｝是以ａ１＝12为首项，以 34 为公比的等比数列， 故得 1123( )4nna. 三、已知递推公式（初始条件与递推关系），求通项公式。 １、待定系数法。 若题目特征符合递推关系式ａ１＝Ａ,ａｎ＋１＝Ｂａｎ＋Ｃ(Ａ,Ｂ,Ｃ均为常数，Ｂ≠１,Ｃ≠０)时，可用待定系数法构造等比数列求其通项公式。 例４、已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝４,ａｎ＝３ａｎ－１－２,求通项ａｎ. 解 ： 由可 设 即 ２ｔ＝－２得ｔ＝－１ 即， 可知数列｛ａｎ－１｝是以ａ１－１＝３为首项，以３为公比的等比数列，由等比数列的通项公式，得,所以数列｛ａｎ｝的通项公式为+1. ２、逐差相加法。 若题目特征符合递推关系式ａ１＝Ａ(Ａ为常数)，an+1=an+f(n)时，可用逐差相加法求数列的通项公式。 例５、在数列{an}中，a1=3,an+1=an+2n,求通项 an. 解：由an+1=an+2n, 得 an+1-an=2n, 则有 将这n-1 个等式相加， ……… 得： ， 故所求数列的通项公式为. 3、逐比连乘法。 若题目特征符合递推关系式a1=A（A为...