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求线面角的三种常见思路方法

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求线面角的三种常见思路方法 舒云水 本文以2009 年湖南卷理18 题为例,介绍求线面角的三种常见思路方法,并对这三种方法作比较分析﹒ 如图1,在正三棱柱111ABCA B C中,12ABAA,点D 是11A B 的中点,点E 在11AC 上,且DEAE⊥. (I)证明:平面ADE 平面11ACC A ; (II)求直线AD 和平面1ABC 所成角的正弦值. (Ⅰ)证明略. 下面主要谈(Ⅱ)小题的解法﹒ 思路1:直接作出线面角求解﹒ 分析:因为本题几何图形是特殊的几何体——正三棱柱,点D 在特殊位置上——线段11BA的中点,所以本题比较容易作出线面角﹒如图2,取 AB的中点F ,连结DF ,1DC ,FC1,则面1DFC面1ABC ,过 D作 FCDH1于 H ,则DH面1ABC ,连结 AH ,则HAD是AD和平面1ABC 所成的角﹒ 解法1 如图2,设F 是AB 的中点,连结DF ,1DC ,1C F .由正三棱柱111ABCA B C的性质及D是11A B 的中点知,111A BC D⊥,11A BDF⊥. 又1C DDFD,所以11A B ⊥平面1C DF . 而11ABA B∥, 所以AB⊥平面1C DF .又AB 平面1ABC ,故 平面1ABC ⊥平面1C DF . 过点D作 DH 垂直1C F 于点H , 则 DH ⊥平面1ABC . 连结AH ,则HAD是直线 AD 和平面1ABC 所成的角. 由已知12ABAA,不妨设12AA ,则2AB  ,2DF ,13DC , 15C F ,2211ADAAA D3,11·233055DF DCDHC F. 所以10sin5DHHADAD. 即直线 AD 和平面1ABC 所成角的正弦值为 105 . 思路 2:用等体积法求出点D到面1ABC 的距离h,ADh 为所求线面角的正弦值. 分析 如图3,连结DC1,BD,即得四棱锥1ABCD .用等体积法,即DABCABCDVV11,容易求出点D 到平面1ABC 的距离h,ADh 为所求线面角的正弦值. 解法2:如图3,连结DC1,BD.因为平面111CBA平面1AB ,DC111BA ,所以DC1平面1AB . 不妨设12AA ,则2AB  ,13DC ,611 BCAC,BDAD = 3 . 易求 2ADBS,51ABCS. 设 D在平面1ABC 内的射影为H ,hDH ,连结AH ,则HAD是直线AD 和平面1ABC 所成的角. 因为DABCABCDVV11,所以有 ABDABCSDCSh131311, 65h, 530h. 所以10sin5DHHADAD. 即直线AD 和平面1ABC 所成角的正弦值为105 . 思路 3:坐标向量法. 解法3 如图4,设 O 是 AC 的中点,以O 为原点建立空间...

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