6 第二节 用空间向量证明线线垂直与线面垂直 一、空间向量及其数量积 1、 在空间,既有大小又有方向的量称为空间向量。用AB 或a 表示,其中向量的大小称为向量的长度或模,记为AB 或a 。正如平面向量a 可用坐标(x,y.)表示,空间向量a 也可用坐标(x,y,z)表示。若已知点A 坐标为(x1,y1,z1),点B 坐标为(x2,y2,z2) 则向量AB =(x2 -x1,y2- y1,z2 -z1)即是终点坐标减起点坐标。 在空间,知道向量a =(x,y,z)则,a =222zyx 2、 空间向量数量积 ① 已知两个非零向量a 、b ,在空间任取一点O,作OA=a ,OB =b ,则角∠AOB叫向量a 与b 的夹角,记作<a ,b >规定,若0≤<a ,b >≤ ,若<a ,b >=2,称a 与b 垂直,记作a⊥b 。 ② 已知空间两个向量a 、b ,则a b COS<a ,b >叫向量a 、b 的数量积,记作ba = a b COS< a ,b >若a ⊥b ba =0 ③ 若已知空间向量a =(x1,y1,z1), b =(x2,y2,z2) 则a b =x1x2+y1y2+z1z2 , COS<a ,b >=222222212121212121..zyxzyxzzyyxxbaba 例1 如图,已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=900,D1、E1 分别为A1B1、A1C1 中点,若BC=CA=CC1,求向1BD 与1AE 所成角的余弦值。 C1 B1 A1 A C B D1 E1 6 练习:已知正方体ABCD—1111DCBA中,11EB=11FD=411BA,求向量1BE 与1DF 所成角的余弦值。 二 、利用向量证线线垂直与线面垂直 例 2 在正方体ABCD—1111DCBA中,求证 A1C⊥平面 AB1D1 练习:在正方体ABCD—1111DCBA中,O为底面 ABCD的中心,P为 DD1的中点, 求证:B1O⊥平面 PAC。 例 3 如图,PA⊥矩形 ABCD所在平面,M, N分别是 AB ,PC中点 (1)求证:MN⊥CD ED A1 FD1 A B1 C B C1 BAD C B A CDB1 A1 D C B A C1 D1 O P A B C D P M N 6 (2)若∠PDA=45 0 ,求证:MN⊥平面PCD 练习:正方体ABCD—1111DCBA中,M 是棱 D1D 中点,N 是 AD 中点, P为棱 A1B1上任一点。求证:NP⊥AM 作业: 1.如图,正方体ABCD—1111DCBA中,E 是 BB1中点,O 是底面ABCD 中心, 求证:OE⊥平面D1AC. 2.如图,正方体ABCD—1111DCBA中,O ,M 分别是 BD1, AA1中点,求证:OM 是异面直线 AA1和 BD1的公垂线. 3、如图,直三棱柱 ABC-—A1B1C1中,∠ACB=90 0 ,AC=1,CB=2 ,侧...