用空间向量证明线线垂直与线面垂直VIP专享

6 第二节 用空间向量证明线线垂直与线面垂直 一、空间向量及其数量积 1、 在空间，既有大小又有方向的量称为空间向量。用AB 或a 表示，其中向量的大小称为向量的长度或模，记为AB 或a 。正如平面向量a 可用坐标(x,y.)表示，空间向量a 也可用坐标(x,y,z)表示。若已知点A 坐标为（x1，y1，z1）,点B 坐标为（x2，y2，z2） 则向量AB =（x2 -x1，y2- y1，z2 -z1）即是终点坐标减起点坐标。 在空间，知道向量a =（x，y，z）则，a =222zyx 2、 空间向量数量积 ① 已知两个非零向量a 、b ，在空间任取一点O，作OA=a ，OB =b ，则角∠AOB叫向量a 与b 的夹角，记作＜a ，b ＞规定，若0≤＜a ，b ＞≤ ，若＜a ，b ＞=2，称a 与b 垂直，记作a⊥b 。 ② 已知空间两个向量a 、b ，则a b COS＜a ，b ＞叫向量a 、b 的数量积，记作ba ＝ a b COS＜ a ，b ＞若a ⊥b ba ＝０ ③ 若已知空间向量a ＝（x1，y1，z1）， b ＝（x2，y2，z2） 则a b ＝x1x2+y1y2+z1z2 ， COS＜a ，b ＞＝222222212121212121..zyxzyxzzyyxxbaba 例１ 如图，已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BCA=900,D1、E1 分别为A1B1、A1C1 中点，若BC=CA=CC1，求向1BD 与1AE 所成角的余弦值。 C1 B1 Ａ1 Ａ Ｃ Ｂ D1 E1 6 练习：已知正方体ABCD—1111DCBA中，11EB=11FD=411BA，求向量1BE 与1DF 所成角的余弦值。 二 、利用向量证线线垂直与线面垂直 例 2 在正方体ABCD—1111DCBA中，求证 A1C⊥平面 AB1D1 练习：在正方体ABCD—1111DCBA中，O为底面 ABCD的中心，P为 DD1的中点， 求证：B1O⊥平面 PAC。 例 3 如图，PA⊥矩形 ABCD所在平面，M, N分别是 AB ,PC中点 （1）求证：MN⊥CD ED A1 FD1 A B1 C B C1 BAD C B A CDB1 A1 D C B A C1 D1 O P A B C D P M N 6 （2）若∠PDA=45 0 ，求证：MN⊥平面PCD 练习：正方体ABCD—1111DCBA中，M 是棱 D1D 中点，N 是 AD 中点， P为棱 A1B1上任一点。求证：NP⊥AM 作业： 1.如图，正方体ABCD—1111DCBA中，E 是 BB1中点，O 是底面ABCD 中心， 求证：OE⊥平面D1AC. 2.如图，正方体ABCD—1111DCBA中，O ,M 分别是 BD1, AA1中点，求证：OM 是异面直线 AA1和 BD1的公垂线. 3、如图，直三棱柱 ABC-—A1B1C1中，∠ACB=90 0 ，AC=1，CB=2 ，侧...