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直线及圆的参数方程(教案)

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1 直线及圆的参数方程 教学重点和难点: 直线参数方程及圆的参数方程的基本形式,对直线标准参数方程中参数t 的理解,非标准参数方程如何化为标准方程并求出倾角,并应用直线参数方程解决有关问题。 例题分析: 例1.下列各式中,哪一个是直线的三角式方程,试述理由,若是点角式参数方程时,写出始点和倾角,若不是,化为点角式参数方程。 (1)(t 为参数);(2)(t 为参数);(3)(t 为参数) 解:(1)始点(-2,3),倾角为π 是点角式参数方程。 (2)不是点角式参数方程,不满足为点角式参数方程的必要条件,即a2+b2=1。 但是形如(t 为参数)的可化为参数方程的标准式即(t 为参数) (3)(t 为参数)不是点角式参数方程,令t'=-t,得, ∴ 直线始点为(-2,2),倾角为。 例2.写出过点A(1,-2),倾角为45° 的直线l1 的点角式参数方程,若l1 与 l2:x+2y-4=0相交于 B。 (1)求|AB|; (2)求点B 的坐标。 解:设 l1 的参数方程为: 2 (I)(t 为参数) 把(I)代入l2 方程,1+t+2(-2+t)-4=0 解出t=(II), ∴ |AB|=|t-0|= 把(II)代入(I)得:B(, )。 小结:从此例可看出应用三角式参数方程求距离很简捷。 例 3.求椭圆=1 中斜率为2 的平行弦中点的轨迹。 解:(1)用普通方程解决,设弦中点 P(x0, y0),弦的两端点 A(x1, y1), B(x2, y2) 由已知得: (1)-(2): =0, ∴ .........(6) 将(5)代入(6),∴ 2=, ∴x0+3y0=0,轨迹为含在椭圆内的一条线段。 3 法(2)参数方程解题设弦中点P(x0,y0),弦的倾角为a, ∴ 平行弦的直线参数方程为:(t 为参数)(1) 将(1)代入2x2+3y2-6=0 中,整理后得: (2cos2α+3sin2α)t2+2(2x0cosα+3ysinα)t+2x02+3y02-6=0, ∴ t1+t2= P 为弦中点,∴t1+t2=0,即2x0cosα+3y0sinα=0,又tgα=2, ∴2x0+6y0=0, ∴P 点轨迹是方程为x+3y=0 在椭圆=1 内的一条线段。 小结:此例用普通方程及参数方程对比解决,体会参数t 的几何意义,其中t1+t2=0 对点角式方程而言具有普遍的意义,常用于解决弦中点问题。 例4.设M,N 是抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上两点,且它们关于顶点O 对称,过M,N 作两条平行线,分别交抛物线于P1,P2,Q1,Q2,求证:|MP1|·|MP2|=|NQ1|·|NQ2|。 证明:由已知可设M(a,0), N(-a, 0)(a>0) 则直线MP1,NQ1 的参数方程为: (1)和(2)其中t 是参数,α 是倾斜角。 把(1)(2)分别代入y...

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