矩阵论及其应用_黄有度习题1解答

习题一 1．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域的线性空间： （1）设 A 是 n 阶实数矩阵. A 的实系数多项式( )f A 的全体，对于矩阵的加法和数乘； （2）平面上不平行于某一向量所组成的集合，对于向量的加法和数与向量的乘法； （3）全体实数的二元数列，对于如下定义的加法 和数乘运算： ),,(),(),(acdbcadcba)2)1(,(),(2akkkbkabak （4）设 R 是一切正实数集合，定义如下加法和数乘运算： ,kabab k aa 其中 ,,a bRkR； （5）二阶常系数非齐次线性微分方程的解的集合，对于通常函数的加法和数乘； （6）设12sinsin 2sin,,02kiVx xctctckt cRt ，V 中元素对于通常的加法与数乘，并证明：sin ,sin 2 ,,sinttkt是V 的一个基，试确定ic 的方法. 解 （1）是. 令矩阵为是实系数多项式，nnxffVAA)()(1.由矩阵的加法和数乘运算知, ),()(),()()(AAAAAdkfhgf 其中k 为实数，)(),(),(xdxhxf是实系数多项式.1V 中含有 A 的零多项式，为1V 的零元素.)(Af有负元1)(VfA.由于矩阵加法与数乘运算满足其它各条，故1V 关于矩阵加法与数乘运算构成实数域上的线性空间. （2）否.例如以那个已知向量为对角线的任意平行四边形的两个邻边向量，它们的和不属于这个集合，因此此集合对向量的加法不封闭. （3）是. 封闭性显然成立.下面证明此集合满足线性空间的八个要求. 任取该集合中的三个元素，设为),(),,(),,(gfdcba,以及任意实数lk, ,则有 ① ),(acdbca; ② ),()(acdbca ))()(,)((fcagacdbfca))()(),((fcacfgdbfca )(),(cffdfc; ③存在(0,0),使得 ),()00,0()0,0(),(baababa, 即(0,0)为零元; ④存在),(2baa,使得 )0,0())()(,(),(),(22aababaabaaba, 即),(2baa是),(ba的负元; ⑤),()2)11(11,1(),(12baababa ⑥)2)1(,()),(()(2alllblakbalklk ))(2)1()2)1((),((22lakkalllbklak )(),()()2)1()(,(2klbaklaklklbklkla; ⑦)2)1))((()(,)((),()()(2alklkblkalkbalklk )))(()2)1(()2)1((,(22lakaalllbakkkblaka )2)1(,()2)1(,(22a...