1 空间向量期末复习 知识要点: 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OBOAABab; BAOAOBab;()OPaR 运算律：⑴加法交换律：abba ⑵加法结合律：)()(cbacba ⑶数乘分配律：baba )( 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作ba //。 当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b存在实数λ，使a＝λb。 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使 pxayb。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量, ,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组 , ,x y z，使 pxaybzc。 若三向量, ,ab c不共面，我们把{ , , }a b c 叫做空间的一个基底，, ,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设, , ,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数, ,x y z，使OPxOAyOBzOC。 6. 空间向量的数量积。 （1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OAa OBb，则AOB叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b ；且规定0,a b，显然有,,a bb a ；若,2a b，则称a 与b 互相垂直，记作：ab。 （2）向量的模：设OAa，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a 。 （3）向量的数量积：已知向量,a b ，则|| || cos,aba b 叫做,a b 的数量积，记 2 作a b，即a b | | | | cos,aba b。 （4）空间向量数量积的性质：...
