立体几何空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)VIP专享

1 空间角求法题型（线线角、线面角、二面角） 空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点，几乎年年必考。空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。其取值范围分别是：0°  ≤90°、0°≤  ≤90°、0°  ≤180°。 空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正余弦定理）和向量法。下面举例说明。 一、异面直线所成的角： 例 1 如右下图，在长方体1111ABCDA B C D中，已知4AB ，3AD ，12AA 。E 、F 分别是线段 AB 、BC 上的点，且1EBFB 。求直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值。 思路一：本题易于建立空间直角坐标系， 把1EC 与1FD 所成角看作向量 EC1与FD的夹角，用向量法求解。 思路二：平移线段 C1E 让 C1 与 D1 重合。转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。（图 1） 解法一：以 A 为原点，1AB AD AA、、分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D1（0，3，2）、E （3，0，0）、F（4，1，0）、C1（4，3，2），于是11(1,3,2),( 4,2,2)ECFD 设 EC1 与 FD1 所成的角为  ，则： 11222222111 ( 4)3 22 221cos14132( 4)22ECFDECFD    ∴直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值为2114 解法二：延长 BA 至点E1，使 AE1=1，连结 E1F、DE1、D1E1、DF， 有 D1C1//E1E， D1C1=E1E，则四边形 D1E1EC1 是平行四边形。则 E1D1//EC1 于是∠E1D1F 为直线1EC 与1FD 所成的角。 在 Rt△BE1F 中，2222115126E FE FBF。 2 在Rt△D1DE1 中， 2222211111122213214D EDEDDAEADDD 在Rt△D1DF 中，2211222222124224FDFDDDCFCDDD 在△E1FD1 中，由余弦定理得： 22211111111121cos.214D EFDEFED FD EFD ∴直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值为2114 。 可见，“转化”是求异面直线所成角的关键。平移线段法，或化为向量的夹角。一般地，异面直线l1、l2 的夹角的余弦为： cosAC BDACBD。 二、直线和平面所成的角 斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在...