第18讲 垂径定理及其推论 一、学习目标 1.通过观察、思考、归纳和概括形成圆的概念. 2.结合图形认识和理解弦、直径、半圆、弧、优弧、劣弧、等圆和等弧等概念. 3. 通过折叠操作得出垂径定理及其推论,通过推理的方式说明结论的正确性,会运用垂径定理或逆定理解决实际问题. 考情分析 垂径定理及其推论是中考必考知识,常常与直角三角形、等腰三角形等一起考查.与圆有关的计算中,经常利用“垂直于弦的直径平分这条弦”添加辅助线(半径或弦心距),构造直角三角形,运用勾股定理计算有关线段长度. 二、基础知识²轻松学 1.圆的基本概念 (1)圆的定义:在一个平面内,一条线段绕它固定的一个端点旋转一周,另一个端点所形成的图形叫做圆,固定的端点叫做圆心,线段叫做半径. 【精讲】①圆是所有到定点(圆心)的距离等于定长(半径)的点的集合,即同一个圆上所有的点到定点的距离等于定长,反过来,到定点的距离等于定长的所有的点都在同一个圆上;②圆是一条封闭的曲线(圆周),而不是圆面. (2)相关概念 连结圆上任意两点的线段叫做弦.过圆心的弦叫做直径. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆,大于半圆的弧叫优弧,小于半圆的弧叫劣弧. 【精讲】①直径是圆中最长的弦;直径是弦,但弦不一定是直径;②半圆是一种特殊的弧,但弧不一定是半圆. (3)关于等圆、等弧 能够重合的两个圆叫做等圆.能重合的两条弧叫做等弧. 【精讲】①等圆是两个半径相等的圆;②等弧存在于同圆或等圆;③长度相等的弧不一定是等弧(等弧的半径相等、过弧的两端的半径所夹的角也相等). 2.圆的轴对称性 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴. 3.垂径定理及其推论 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,且平分弦所对的两条弧. 【精讲】垂径定理和推论可以理解为一条直线涉及五个特征:垂直于弦、经过圆心、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧,只要具备这五个中的任意两个条件,就可得出其余三个结论. 三、重难疑点²轻松破 1.运用垂径定理及推论进行有关的判断 运用垂径定理可以得出直径所分弦所成的两条相等的线段,两组相等的弧;运用垂径定理的推论可知经过圆心、平分非直径弦的直线与这条弦的位置关系垂直,两组相等的弧;根据圆的轴对称性可知,弧的中点与弦的中点所在直线...