第18讲垂径定理及其推论VIP专享

第18讲 垂径定理及其推论 一、学习目标 1．通过观察、思考、归纳和概括形成圆的概念. 2．结合图形认识和理解弦、直径、半圆、弧、优弧、劣弧、等圆和等弧等概念. 3. 通过折叠操作得出垂径定理及其推论，通过推理的方式说明结论的正确性，会运用垂径定理或逆定理解决实际问题. 考情分析 垂径定理及其推论是中考必考知识，常常与直角三角形、等腰三角形等一起考查.与圆有关的计算中，经常利用“垂直于弦的直径平分这条弦”添加辅助线（半径或弦心距），构造直角三角形，运用勾股定理计算有关线段长度. 二、基础知识²轻松学 1.圆的基本概念 （1）圆的定义：在一个平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段叫做半径. 【精讲】①圆是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合，即同一个圆上所有的点到定点的距离等于定长，反过来，到定点的距离等于定长的所有的点都在同一个圆上；②圆是一条封闭的曲线（圆周），而不是圆面. （2）相关概念 连结圆上任意两点的线段叫做弦.过圆心的弦叫做直径. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧. 【精讲】①直径是圆中最长的弦；直径是弦，但弦不一定是直径；②半圆是一种特殊的弧，但弧不一定是半圆. （3）关于等圆、等弧 能够重合的两个圆叫做等圆.能重合的两条弧叫做等弧. 【精讲】①等圆是两个半径相等的圆；②等弧存在于同圆或等圆；③长度相等的弧不一定是等弧（等弧的半径相等、过弧的两端的半径所夹的角也相等）. 2.圆的轴对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴. 3.垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧. 【精讲】垂径定理和推论可以理解为一条直线涉及五个特征：垂直于弦、经过圆心、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，只要具备这五个中的任意两个条件，就可得出其余三个结论. 三、重难疑点²轻松破 1.运用垂径定理及推论进行有关的判断 运用垂径定理可以得出直径所分弦所成的两条相等的线段，两组相等的弧；运用垂径定理的推论可知经过圆心、平分非直径弦的直线与这条弦的位置关系垂直，两组相等的弧；根据圆的轴对称性可知，弧的中点与弦的中点所在直线...