第4章矩阵特征值和特征向量的计算

第四章 矩阵的特征值与特征向量问题 物理、力学和工程技术中的许多问 题在数学上都归结为求矩阵的特征值和特征向量问题.计算方阵A 的特征值，就是求特征方程 0 IA 即 02211nnnnp...pp 的根.求出特征值 后，再求相应的齐次线性方程组 0xIA 的非零解,即是对应于 的特征向量.这对于阶数较小的矩阵是可以的,但对于阶数较大的矩阵来说,求解是十分困难,所以用这种方法求矩阵的特征值是不切实际的. 我们知道,如果矩阵A 与B 相似，则 A 与B 有相同的特征值.因此人们就希望在相似变换下,把 A 化为最简单的形式.一般矩阵的最简单的形式是约当标准形.由于在一般情况下,用相似变换把矩阵A化为约当标准形是很困难的,于是人们就设法对矩阵A依次进行相似变换,使其逐步趋向于一个约当标准形,从而求出 A 的特征值. 本章介绍求部分特征值和特征向量的幂法,反幂法;求实对称矩阵全部特征值和特征向量的雅可比方法；求特征值的多项式方法；求任意矩阵全部特征值的QR 方法. 第一节幂法与反幂法 一 幂法 幂法是一种求任意矩阵A 的按模最大特征值及其对应特征向量的迭代算法.该方法最大的优点是计算简单,容易在计算机上实现,对稀疏矩阵较为合适,但有时收敛 速 度 很慢 . 为了 讨 论 简单,我们假 设 (1)n 阶方阵A 的特征值n,...,,21按模的大小排 列 为 ||||||n21 (1) (2)iv 是对应于特征值i的特征向量n,,,i21; (3) nv,...,v,v21线性无 关 . 任取 一个非零的初 始 向量0x ,由矩阵A 构 造 一个向量序 列 ......Axx......AxxAxxkk11201 (2) 称为迭代向量.由于nv,...,v,v21线性无 关 ，构 成 n 维 向量空 间 的一组基 ,所以,初 始 向量0x 可唯 一表 示 成 nnvavavax22110 (3) 于是 nknnkknknnkkkkkkvavavavavavaxA...xAAxx121221112221110221 (4) 因为比值,n,,,ii3211所以 111vaxlimkkk  (5) 当k 充分大时有 111 vaxkk (6) 从而 11111vaxkk   (7) 这说明当k 充分大时,两个相邻迭代向量1kx与kx 近似地相差一个倍数,这个倍数便是矩阵A 的按模最大的特征值1.若用 ikx表示向量kx 的第i 个分量,则  ik...