谈谈证明直线恒过点的几种方法临川二中 周志如直线恒过点问题涉及解析几何的所有知识，综合性强，方法灵活，运算复杂，对能力要求高，在教学过程中总结了以下几种策略。1、特别引路和找定点对于有些直线恒过定点的问题，可以先考虑动直线 的特别情况，找出定点 P 的位置，然后证明该点 P 在直线 上，反映从特别到一般的数学方法。例 1：已知椭圆的右准线 ，过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A、B 两点，点 C 在右准线 上，且 BC∥轴，求证 AC 经过定点。证明：如图 1，设 ⊥轴，垂足为 E，易求得 F（1，0），E（2，0）当 AB⊥轴时，过 A 作 AD⊥ ，垂足为 D 点，则 ABCD 为矩形由椭圆的对称性可知，直线 AC 与轴相交于 EF 的中点 N以下证明 N 即为直线 AC 所经过的定点当 AB 不垂直轴时，设直线 AB 的方程为，则且满足方程 即∴ 又 得 xOABFNCEy∴故直线 AN、CN 的斜率分别为： ∴ ∴综上所述，直线 AC 经过定点 N（）2、逆用直线系方程过 直 线与 直 线的 交 点 的 直 线 系 方 程 为=0 （），反之，若直线 的方程可表示为=0（），则必过由确定的定点。例 2：设点 A 和 B 为抛物线上原点以外的两个动点。已知 OA⊥OB，求证：直线 AB 必过定点。xyABO证 明 ： 设 A （） ， B （）∵OA⊥OB （如图 2）∴ 即由于 ， 直线AB的方程为：化简得：即：∴直线 AB 过定点（）3、利用直线方程的定义直 线的 方 程 为， 根 据 直 线 方 程 的 定 义 ， 假 如是 方 程的一个解，那么点在直线 上，假如能根据已知条件求得一个等式 并 化 简 为（ 这 里为 定 值 ） ， 那 么 （）为方程的一个解，从而点（）是动直线 上的点。例 3：设 A（）是抛物线上的定点，已知 B、C 是抛物线上的两切点，若直线 AB 与 AC 的斜率之积为定值 C，则直线 BC 必过定点。证明：设 B，则 两式相减得：若 BC 不与轴垂直，则，直线 BC 的方程为即： ①则 ②化简整理： ③比较①③得：是方程①的解∴直线 BC 过定点当 BC⊥轴时，设由②式得即直线 BC 的方程为此时，直线 BC 也过定点综上所得：直线 BC 过定点
