偏导数-教学

dzdxx=xoy=yo或 f(x0,y0)•fx(x0,y0)=M0类似记作 Ix=x0，dyy=yox=x0y=yx=x0y=y第二节偏导数教学目的：使学生了解偏导数的概念及其几何意义；熟练掌握一阶及二阶偏导数的计算方法;了解偏导数存在与函数连续的关系。教学重点：一阶及二阶偏导数的计算教学过程:一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数 z=f（X,y）,如果只有自变量 x 变化，而自变量 y 固定，这时它就是x 的一元函数，这函数对 x 的导数，就称为二元函数 z=f（x,y）对于 x 的偏导数。定义设函数 z=f（x，y）在点（x0，y0）的某一邻域内有定义，当 y 固定在 y0而 x在 x0处有增量 Ax 时，相应地函数有增量f（x0+Ax，yo）fxo,y0）•如果极限limf （ x o+3 y o ） — f （ x o , y o ） AXTOAx存在，则称此极限为函数 z=f（x,y）在点（x0，y0）处对 x 的偏导数，记作例如f(x0+Ax,y0)_f(x0,y0)Ax函数 z=f（x，y）在点（x0，y0）处对 y 的偏导数定义为limf ( x o , y 0 +A y ) - f ( x o , y 0 ) AyT0Ay偏导函数：如果函数 z=f（x,y）在区域 D 内每一点（x，y）处对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是 x、y 的函数，它就称为函数 z=f（x，y）对自变量 x 的偏导xx=x01解婆=2x+3y，李=3x+2y。oxoyOz=2・1+3-2=8，ozx=1y=3-1+2-x o z +yox亠>=-yxy-1+lnxoyylnx xylnx=xy+xy=2z。函数，记作字，|T，z，或 f(x,y)。oxo偏导函数的定义式:f(x,y)=limf(x+Ax'y)-f(x'y).xAxTOAx类似地，可定义函数 z=f（x,y）对 y 的偏导函数，记为lzey，f，zy，或 fy（x，y）.偏导函数的定义式:f(x,y)=limf(x,y+Ay)—f(x,y).yAyTOG求 f 时，只要把 y 暂时看作常量而对 x 求导数；求 f 时，只要把 x 暂时看作常 exoy量而对 y 求导数.讨论：下列求偏导数的方法是否正确？fx(x0，y0)=fx(y)x=x0，fy(x0，y0)=fy(y)x=xoy=yofx(xo,yo)=聽(x，yo)]x=x，fy(xo0偏导数的概念还可推广到二元以上的函数.□□□xUf（X，y，z）在点（x，y，z）处对x 的偏导数定义为f（x,y,z）=limf （ x + 心 ， y ， ［） _ f （ x ， y ， z ） ，xAxTO心其中（x，y，z）是函数 u=f（x，y，z）的定义域的内点.它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题.例 1 求 z=x2+3xy+y2在点（1，2）处的偏导数。例 2 求 z=x2sin2y 的偏导数.=2x2COS2y。例 3 设 z=xy(x>O,xHl)，求证：—卑+-^=2z。yoxlnxoy证慎=yxy-1，黑=xy...