几何画板迭代全解

几何画板迭代全解佛 ft 市南海区石门中学 谢辅炬（唐家军 修订）主要内容迭代的基本概念以及迭代的基本操作迭代的概念迭代在代数、几何中的应用绘制正多边形数列的图像、前 n 项和与积迭代与分形几何Sierpinski 三角形Sierpinski 地毯摇曳的 Pythagorean Tree(毕达哥拉斯树)分形树KOCH 柯赫曲线KOCH Snowflake 柯赫雪花数学之美H 迭代蜂巢其它分形欣赏函数迭代：函数映射，M 集，朱丽亚集迭代法求方程解MIRA 米拉Henon-Attractor 挨农吸引子Mandelbrot Sets M 集合Julia Sets 朱丽亚集合牛顿迭代法第一章 迭代的概念和操作迭代是数学中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。通俗的讲就是用自身的结构来描述 自身。最 典型的例 子就是对 阶乘运算 可看作以 下定义： n!=n × (n-1)! 、(n-1)!=(n-1)(n-2)!。递归算法的特点是书写简单，容易理解，但是运算消耗内存较大。为了更好地理解几何画板中迭代的应用，先了解下面这几个迭代最基本的概念。迭代：按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程。原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。初象：原象经过一定规则变换操作而得到的第一个象。与原象是相对概念。更具体一点，在代数学中，如计算数列 1，3，5，7，9......的第 n 项。我们知道 An=An-1+2， 所以迭代的规则就是后一项等于前一项加 2。以“1”作为原像，“3”作为初像，迭代一次后得到“5”，再迭代一次得到“7”，如此下去得到以下数值序列 7、9、11、13、15......如图 1.1 所示。图 1.1图 1.2在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。图 1.2 中 A、B、C、D、E、F、G，各点相距 1cm，那么怎么由 A 点和 B 点得到其它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从左到右， 每一个点相当于前面一个点向右平移了 1cm。所以我们以 A 点作为原像，B 点作为初像，迭代一次得到 B 点，二次为 C 点，以此类推。所以，迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次数，迭代的终点就是最后的那个像。那么下面我们通过例子来进一步地了解迭代以及相关的概念。几何画板中迭代的控制方式分为两种，一种是没有参数的迭代，另一种是带参数的迭代， 后者我们称之为深度迭代。两者没有本质的不同，但前者需要手动改变迭代的深度，后者可通过修改参数的值来改变迭代深度。我们先通过画圆内接正 n 边形这...