几何画板迭代全解佛 ft 市南海区石门中学 谢辅炬（唐家军 修订）主要内容迭代的基本概念以及迭代的基本操作迭代的概念迭代在代数、几何中的应用绘制正多边形数列的图像、前 n 项和与积迭代与分形几何Sierpinski 三角形Sierpinski 地毯摇曳的 Pythagorean Tree(毕达哥拉斯树)分形树KOCH 柯赫曲线KOCH Snowflake 柯赫雪花数学之美H 迭代蜂巢其它分形欣赏函数迭代：函数映射，M 集，朱丽亚集迭代法求方程解MIRA 米拉Henon-Attractor 挨农吸引子Mandelbrot Sets M 集合Julia Sets 朱丽亚集合牛顿迭代法第一章 迭代的概念和操作迭代是数学中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。通俗的讲就是用自身的结构来描述 自身。最 典型的例 子就是对 阶乘运算 可看作以 下定义： n!=n × (n-1)! 、(n-1)!=(n-1)(n-2)!。递归算法的特点是书写简单，容易理解，但是运算消耗内存较大。为了更好地理解几何画板中迭代的应用，先了解下面这几个迭代最基本的概念。迭代：按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程。原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。初象：原象经过一定规则变换操作而得到的第一个象。与原象是相对概念。更具体一点，在代数学中，如计算数列 1，3，5，7，9......的第 n 项。我们知道 An=An-1+2， 所以迭代的规则就是后一项等于前一项加 2。以“1”作为原像，“3”作为初像，迭代一次后得到“5”，再迭代一次得到“7”，如此下去得到以下数值序列 7、9、11、13、15......如图 1.1 所示。图 1.1图 1.2在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。图 1.2 中 A、B、C、D、E、F、G，各点相距 1cm，那么怎么由 A 点和 B 点得到其它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从左到右， 每一个点相当于前面一个点向右平移了 1cm。所以我们以 A 点作为原像，B 点作为初像，迭代一次得到 B 点，二次为 C 点，以此类推。所以，迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次数，迭代的终点就是最后的那个像。那么下面我们通过例子来进一步地了解迭代以及相关的概念。几何画板中迭代的控制方式分为两种，一种是没有参数的迭代，另一种是带参数的迭代， 后者我们称之为深度迭代。两者没有本质的不同，但前者需要手动改变迭代的深度，后者可通过修改参数的值来改变迭代深度。我们先通过画圆内接正 n 边形这...
