循环矩阵性质研究

循环矩阵的性质讨论郭宇泽 20241112021. 相关概念定义 1.1具有以下形式的阶方阵称为关于的循环矩阵显然，由首行元素惟一确定，因此可简记为.特别地，阶循环矩阵：称为阶基本循环矩阵，简记为：显然,(阶单位矩阵)都是循环矩阵,由此得,设,则,这时. 记为复数域上的全体阶方阵，为实数域上的全体阶方阵，它们分别构成复数域和实数域上的维向量空间，记为矩阵的迹，为的转置共轭阵.定义 1.2设假如矩阵的最小多项式等于特征多项式，则称为循环矩阵.定义 1.3设是维向量空间上的一个线性变换，若存在向量，使得线性无关.则称为的一个循环向量.定义 1.4 已知阶基本循环矩阵，并令，称为循环矩阵基本列（其中为单位矩阵）.2.循环矩阵的性质2.1 循环矩阵基本性质性质 2.1.1循环矩阵基本列是线性无关的.性质 2.1.2 任意的阶循环矩阵都可以用循环矩阵基本列线性表出，即.性质 2.1.3 同阶循环矩阵的和矩阵为循环矩阵.证明设，B=，则+=显然为循环矩阵.定理 2.1.1 设为阶循环矩阵，则有：（1）乘积仍是循环矩阵，且满足乘法交换律，即；（2）若可逆，则的逆矩阵也是循环矩阵；证明(1)设，， 因 为（ 其 中为 非 负 整 数 ，），所以，此处为不高于次的多项式，因此为阶循环矩阵，且.(2)设为阶可逆循环矩阵，欲求的逆矩阵，需求得矩阵，满足条件即可.设，，有()()=要使，则以下方程组必须成立：解以上方程组可转化为求解：，因为可逆，所以，因此方程有唯一的解，可得到唯一的矩阵，为的逆矩阵，且为循环矩阵.性质 2.1.4阶循环矩阵的伴随矩阵也是循环矩阵.证明伴随矩阵，由定理 2.1.1 可知为循环矩阵，因此也是循环矩阵.2.2 关于循环矩阵的判定相关性质由定义 1.2，有如下性质：引理 2.2.1 设则.定理 2.2.1设则为循环矩阵的充要条件是矩阵是满秩的.由定义 1.3，有如下性质：引理 2.2.2 设是维向量空间上的一个线性变换，有一个循环向量的充要条件是的最小多项式等于特征多项式.由此可知为循环矩阵的充要条件是有一个循环向量.定理 2.2.2 设，则为循环矩阵.证明 由于，故，即的核空间的维数小于的核空间的维数.所以必存在向量，使得，而.下面证明就是的一个循环向量，即线性无关.设，且满足，则.所以，，从而，即，所以，.依次类推下去，可得，因此线性无关，即为的一个循环向量，所以是循环矩阵.2.3 循环矩阵可逆的判定与互素推论推论 2.3.1 循环矩阵可逆的充要条件是方程无单位根.推论 2.3.2 设是以为元素的阶循环矩阵...