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循环矩阵性质研究

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循环矩阵的性质讨论郭宇泽 20241112021. 相关概念定义 1.1具有以下形式的阶方阵称为关于的循环矩阵显然,由首行元素惟一确定,因此可简记为.特别地,阶循环矩阵:称为阶基本循环矩阵,简记为:显然,(阶单位矩阵)都是循环矩阵,由此得,设,则,这时. 记为复数域上的全体阶方阵,为实数域上的全体阶方阵,它们分别构成复数域和实数域上的维向量空间,记为矩阵的迹,为的转置共轭阵.定义 1.2设假如矩阵的最小多项式等于特征多项式,则称为循环矩阵.定义 1.3设是维向量空间上的一个线性变换,若存在向量,使得线性无关.则称为的一个循环向量.定义 1.4 已知阶基本循环矩阵,并令,称为循环矩阵基本列(其中为单位矩阵).2.循环矩阵的性质2.1 循环矩阵基本性质性质 2.1.1循环矩阵基本列是线性无关的.性质 2.1.2 任意的阶循环矩阵都可以用循环矩阵基本列线性表出,即.性质 2.1.3 同阶循环矩阵的和矩阵为循环矩阵.证明设,B=,则+=显然为循环矩阵.定理 2.1.1 设为阶循环矩阵,则有:(1)乘积仍是循环矩阵,且满足乘法交换律,即;(2)若可逆,则的逆矩阵也是循环矩阵;证明(1)设,, 因 为( 其 中为 非 负 整 数 ,),所以,此处为不高于次的多项式,因此为阶循环矩阵,且.(2)设为阶可逆循环矩阵,欲求的逆矩阵,需求得矩阵,满足条件即可.设,,有()()=要使,则以下方程组必须成立:解以上方程组可转化为求解:,因为可逆,所以,因此方程有唯一的解,可得到唯一的矩阵,为的逆矩阵,且为循环矩阵.性质 2.1.4阶循环矩阵的伴随矩阵也是循环矩阵.证明伴随矩阵,由定理 2.1.1 可知为循环矩阵,因此也是循环矩阵.2.2 关于循环矩阵的判定相关性质由定义 1.2,有如下性质:引理 2.2.1 设则.定理 2.2.1设则为循环矩阵的充要条件是矩阵是满秩的.由定义 1.3,有如下性质:引理 2.2.2 设是维向量空间上的一个线性变换,有一个循环向量的充要条件是的最小多项式等于特征多项式.由此可知为循环矩阵的充要条件是有一个循环向量.定理 2.2.2 设,则为循环矩阵.证明 由于,故,即的核空间的维数小于的核空间的维数.所以必存在向量,使得,而.下面证明就是的一个循环向量,即线性无关.设,且满足,则.所以,,从而,即,所以,.依次类推下去,可得,因此线性无关,即为的一个循环向量,所以是循环矩阵.2.3 循环矩阵可逆的判定与互素推论推论 2.3.1 循环矩阵可逆的充要条件是方程无单位根.推论 2.3.2 设是以为元素的阶循环矩阵...

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