11 第11讲

第 11 讲 定点、定值、探索性问题 第九章 平面解析几何栏目导引栏目导引分层演练直击高考分层演练直击高考第九章 平面解析几何 [典例引领] (2018·昆明市教学质量检测)在直角坐标系 xOy 中，已知定圆 M：(x＋1)2＋y2＝36，动圆 N 过点 F(1，0)且与圆 M 相切，记动圆圆心 N 的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程； (2)设 A，P 是曲线 C 上两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 B(异于点 P)，若直线 AP，BP 分别交 x 轴于点 S，T，证明：|OS|·|OT|为定值． 圆锥曲线中的定值问题栏目导引栏目导引分层演练直击高考分层演练直击高考第九章 平面解析几何【解】 (1)因为点 F(1，0)在圆 M：(x＋1)2＋y2＝36 内， 所以圆 N 内切于圆 M，则|NM|＋|NF|＝6＞|FM|， 由椭圆定义知，圆心 N 的轨迹为椭圆，且 2a＝6，c＝1，则 a2＝9，b2＝8， 所以动圆圆心 N 的轨迹方程为x29 ＋y28＝1. (2)证明：设 P(x0，y0)，A(x1，y1)，S(xS，0)，T(xT，0)，则 B(x1，－y1)，由题意知 x0≠±x1， 则 kAP＝y1－y0x1－x0，直线 AP 的方程为 y－y1＝kAP(x－x1)， 令 y＝0，得 xS＝x0y1－x1y0y1－y0， 栏目导引栏目导引分层演练直击高考分层演练直击高考第九章 平面解析几何同理 xT＝x0（－y1）－x1y0（－y1）－y0＝x0y1＋x1y0y1＋y0， 于是|OS|·|OT|＝|xSxT|＝ x0y1－x1y0y1－y0·x0y1＋x1y0y1＋y0＝x20y21－x21y20y21－y20， 又 P(x0，y0)和 A(x1，y1)在椭圆x29 ＋y28＝1 上，故 y20＝81－x209 ，y21＝81－x219 ， 栏目导引栏目导引分层演练直击高考分层演练直击高考第九章 平面解析几何则 y21－y20＝89(x20－x21)，x20y21－x21y20＝8x201－x219 －8x211－x209 ＝8(x20－x21)． 所以|OS|·|OT|＝x20y21－x21y20y21－y20 ＝8（x20－x21）89（x20－x21） ＝9. 栏目导引栏目导引分层演练直击高考分层演练直击高考第九章 平面解析几何 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得； (3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简...