Rolle定理及其推广形式的证明

Rolle 定理及其推广形式的证明【摘要】运用区间套定理给出了 Rolle 定理的证明,此外给出了 Rolle定理的推广形式,同时通过引入开区间上的最值定理给出了其证明.【关键词】Rolle 定理；区间套定理；介质定理；连续；可导基金项目：新疆昌吉学院科研基金项目（2024SSQD024）一、引言微分中值定理是微积分学的重要理论组成部分,是讨论函数性质的有力工具.它不仅沟通了函数及其导数的关系,同时也是微分学理论及应用的桥梁和基石.在通常的教材中,微分中值定理建立在 Rolle 定理之上,而Rolle 定理是以“可导函数在其极值点导数为零”为基础,但反之导数为零的点不一定是极值点.此外,Rolle 定理要求函数在闭区间连续、开区间可导以及端点的值相等,且三个条件缺一不可.我们知道这三个条件仅是结论成立的充分条件而非必要条件,导致其在应用上有很大的局限性,因此本文试图将 Rolle 定理做进一步推广并给出其证明.二、预备本文的证明要用到如下的预备及引理.（介质定理）设函数 f(x)在［a,b］上连续,且f(a)≠f(b) . 若 C 是介于 f(a)和 f(b)之间的任何实数,则至少存在一点 x0∈(a,b),使得 f(x0)=C.（最值定理）若函数 f(x)在闭区间［a,b］上连续,则f(x)在［a,b］上有最大值与最小值.（区间套定理）设有一列闭区间{［an,bn］}满足：（1）［an+1 ,bn+1］ ［an+1 ,bn+1］，即 an≤an+1（2）区间长度趋于零,即lim n→∞(bn-an)=0，则存在 ξ，使得lim n→∞an=lim n→∞bn=ξ，且 ξ 为所有闭区间唯一的公共点.引理 1 设函数 f(x)在［a,b］上连续,f(a)=f(b),则存在c,d∈［a,b］，满足 d-c=a-b2 及 f(c)=f(d).证明构造 g(x)=fx+b-a2-f(x)，x∈a,a+b2，由 f(x)的连续性知 g(x)也连续.同时有 g(a)=fa+b-a2 -f(a)=fa+b2- f(a)，ga+b2=fa+b2+b-a2-fa+b2 =f(b)-fa+b2.当 fa+b2=f(a)时,取 c=a，d=a+b2 即可.当 fa+b2≠f(a)时,由 f(a)=f(b)知 g(a)，ga+b2异号,故由介值定理知ξ∈a,a+b2，使得 g(ξ)=fξ+b-a2 -f(ξ)=0，此时取 c=ξ,d=ξ+a+b2.证毕.引理 2 设函数 f(x)在(a,b)上连续,且lim n→a+f(x)=lim n→b-f(x)=-∞，则函数 f(x)在(a,b)内存在最大值.证明因为 f(x)在(a,b)上连续且lim n→a+f(x)=lim n→b-f(x)=-∞，则必存在 x0∈(a,b)，ε1,ε2>0，满足 f(x)f(x0)，显然 f(ξ)为(a,b)内的最大值.证毕.引理 3 设函...