不同难度下的极限计算汇总

考研与竞赛常考的几类极限问题作者：Hoganbin12024 年 3 月 5 日例 1【基础阶段】 计算极限lim . 1 + 1 + · · · + 1 Σ. 解: 易知lim. 1 · · ·n!1 1 n + 1 1 Σn + 2lim 1nn + nX 1 Z 1 1 dlnn!1+++n + 1 n + 2n + n=n!1 ni =1=1 + i0x =21 + x□例 2【变式 1】计算极限lim . n + n + · · · + n Σ. 解: 同样的做法n!1n2 + 12n2 + 22n2 + n2lim. n n n Σlim 1X 1 Z 1 1 d v n!1n2 + 12 + n2 + 22 + · · · + n2 + n2=n!1 nn. Σ2=i =1 1 + i01 + x2 x = 4□例 3【变式 2】计算极限lim . p 111+ p+ · · · + p. 解: 可得Σn!1n2 + 12n2 + 22nn2 + n2lim X 1 lim 1 X 1 Z 1 1 dlnp n!1k=1pn2 + k2 = n!1 nk=1nq2=1 + ( k )0p1 + x2 x =(1 + 2)□例 4【进阶阶段】计算极限lim . p 1+ p 11+ · · · + p. 解: 法 1：考虑Σn!1n2 + 1n2 + 2n2 + nlimn!11npn2 + nlimn!1≤1pn2 + 1.1+n2 + 2p+ · · · + p1n2 + nlimn!1Σ ≤n!1n2 + nnpn2 + 1由于lim p n= lim1= 1; lim p nXXn!1@pk Aqq= lim1= 1即 lim X p 1= 1.n!1 k=1法 2：易知nlimn!1 k=1n2 + kX 1 n+n2 1 0nX+n2 1 pn2 + k = lim=1+= limn!1n2 1 1= lim. Σ2pn + n2 + $ . 1 Σ + 1 Z 1n!1n!122 n+n2 x3/2 f x g dxΣ — Σ2pn2 + $ . 1 Σ + 1 Z 1 f x g dxΣΣ= 2 limn!1.pn + n2 — nΣ = 2 limnpn + n2 + n= 2 limn!122x3/21p1/n + 1 + 1= 1:□例 5【变式 1】计算极限lim (1+2n+ · · · +). 解: 考虑n!1n2 + n + 1n2 + n + 2nn2 + n + n1 + 2 + · · · + n < X k < 1 + 2 + · · · + n n2 + n + n由于k=1n2 + n + kn2 + n + 1limn(1 + n)= ;lim11n!1 k=1n2 + n + k2n(1 + n)1=n!1 2(n2 + 2n) 2n!1 2(n2 + n + 1)2n即 lim X pk= .□例 6【变式 2】计算极限lim (1+2n+ · · · +). 解: 考虑n!1nn2 + n + 12n2 + n + 22nn2 + n + n2nX k < X k < X k k=1由于(n + 1)2 + k2k=1n2 + n + k2k=1nn2 + k2lim X k = lim X 1nZdk 1 x x =n1...