不在端点处的最值一定是极值吗1.提出问题笔者在一次高二公开课听课中遇到这样的问题：假如函数的最值不在端点处取到，那么这个最值一定是函数的极值。乍一看，好像是对的，学生也一致认为是对的，老师也宣布没错，就讲下一题了。但笔者很快举出了一个反例——常函数。比如：y=1，x∈R，该函数处处都能取到最值，而这个最值却不是函数的极值。事实上，常函数没有极值。课后研讨中，点评老师还给出了另一个反例：y=|x|，该函数 x=0 在处取到最小值，但这个值不是极值。理由是该函数在 x=0 处不可导，而函数在某点处导数为零是函数在该点处取极值的必要不充分条件。2.回归定义那么，这些“反例”正确吗？李邦河院士说：“数学玩的是概念，而不是纯粹的技巧。”让我们回到概念上。苏教版数学必修 1 第 39 页：一般地，设 y=f（x）的定义域为 A。假如存在 x∈A，使得对于任意的x∈A，都有 f（x）≤f（x），那么称 f（x）为 y=f（x）的最大值，记为y=f（x）；假如存在 x∈A 使得对于任意的 x∈A，都有 f（x）≥f（x），那么称 f（x）为 y=f（x）的最小值，记为 y=f（x）。苏教版数学选修 2-2（文）第 30 页：函数图像在点处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），这时在点 P附近，点 P 的位置最高，亦即 f（x）比它附近点的函数值都要大。我们称f（x）为函数 f（x）的一个极大值。文第 32 页指出：函数 f（x）在 x 处取得极大值，指在 x 附近 f（x）比其他函数值都大，极大值是相对于函数定义域内某一局部而言的。最大值是相对于函数定义域整体而言的。由这个描述性定义可见，函数的极值是根据单调性来的，函数先增后减，一定出现极大值，函数先减后增，一定出现微小值。极值表征的是函数局部的性质，即某点处的函数值比它附近点的函数值都大（或小）。也就是说，并不涉及函数是否可导。第二个反例不成立。y=|x|在 x=0 处的函数值比它附近的函数值都要小，所以在该点处取到微小值。那为什么我们常常通过求导，令导数等于 0，推断两侧导数值正负求函数的极值呢？那是因为我们在高中接触到的求极值的函数往往是可导的，所以引发了误解。这里的导数为零是有前提的。事实上，《数学分析》教材（文）给出了费马定理：设函数 f 在点 x 的某邻域内有定义，且在点 x 可导。若点 x 为 f 的极值点，则必有 f′（x）=0。而第一个反例则完全符合定义。常函数处处取到最值，但处处不...
