关于隐函数存在定理证明教学的新探讨VIP专享

关于隐函数存在定理证明教学的新探讨关键词：隐函数存在定理分析证明分析论证思想1.问题的提出数学分析教学中“隐函数存在定理”的证明，是一个较为复杂，不易被学生很快理解和掌握的定理。现把该定理复述如下：定理：设 F（某，y）在（某，y）的领域内连续，并有连续的偏导数F′（某，y），假如F（某，y）=0 摇摇摇 F′（某，y）≠0则在（某，y）的某领域内，方程 F（某，y）=0 有唯一的连续解y=f（某），也就是说，这时存在某 η>0，使得在［某-η，某+η］上存在着一函数 y=y（某），使得：1）y=y（某）；2）y（某）在［某-η，某+η］上连续；3）在［某-η，某+η］上恒等式 F（某，y（某））=0 成立；4）满足条件 1）—3）的函数 y（某）是唯一的。在定理所给条件下，找到满足结论条件的隐函数 y=f（某），从几何直观来看就是：若在（某，y）附近 z=F（某，y）为光滑曲面，则它在点（某，y）附近与 z=0 的交线为光滑曲线，并能表示为 y 为某的函数（当 F′（某，y）≠0），如图 1 所示。对于这个定理，一般的分析教科书上多采纳的传统证法是基于它的几何意义，而从下面几方面去进行推断。（一）定理的结论，实质是找曲面 z=F（某，y）和平面 z=0 的交线y=f（某），使得这曲线过（某，y）且在某附近连续，唯一。（二）要这曲线过（某，y）必须曲面过（某，y），即F（某，y）=0。（三）要这曲线在某附近连续，只需曲面 z=F（某，y）在（某，y）附近连续。（四）要曲线唯一，也就需证，对某附近任一某，有唯一确定的 y。在定理题设中有，F′（某，y）≠0，不妨假定它大于 0，由于 F′（某，y）连续，因此存在（某，y）的某个领域，其中每一点 F′都大于0。在该领域内，固定某=某，令 φ（y）=F（某，y），由于 φ′（y）>0，因此 φ（y）是单调上升的，只要证明存在 y 及 y，使得φ（y）>0，φ（y）<0，则由一元连续函数的中值定理，就存在一点M（某，y）使 F（某，y）=0，这是定理证明的核心。其几何意义是：曲面z=F（某，y）垂直于某轴的平面某=某的交线 z=F（某，y），剖面图形如图 2 所示。这种证法比较直观，容易被接受，但只给出了解的存在性证明。在很多问题的讨论中，我们不仅仅需要知道隐函数的存在，更重要的是要求得隐函数，而这种证法并不能解决这个问题。我们看到在近期出版的一些数学分析教科书上，关于隐函数存在定理的证明，使用了逐次逼近法。这种证法，不仅证明了隐函数的存在，而且包...