圆锥曲线的常见结论

BF1OAF2目录第一章 圆锥曲线的常见结论11.1椭圆的常见结论..........................................................11.2双曲线的常见结论........................................................71.3抛物线的常见结论.......................................................14第一章圆锥曲线的常见结论本章我们将给出圆锥曲线的一些常见结论, 在实际解题过程中, 遇到选择题和填空题 可以直接使用, 若是解答题, 则不能直接使用, 需给出证明过程.第 1.1 节 椭圆的常见结论这里我们以中心在原点, 焦点在 x 轴上的椭圆 x2 + y2 = 1 为例, 给出一些常见结论,a2b2至于焦点在 y 轴上的椭圆的结论是否一致? 请仿照焦点在 x 轴上的情况自行推断.如图所示, 过左焦点 F1 的直线与椭圆交于 A, B 两点, 则 △ABF2 的周长为 4a (定值).yx证明由椭圆的定义可知:结论一2|AF1| + |AF2| = 2a ,|BF1| + |BF2| = 2a所以 |AF1| + |AF2| + |BF1| + |BF2| = 4a, 即 △ABF2 的周长为 4a.练习 1. 过椭圆 E: 4x2 + y2 = 1 的一个焦点 F1 的直线 l 与 E 交于 A, B 两点, 则A, B 与另一个焦点 F2 所构成的 △ABF2 的周长等于 ().A. 2B. 4C. √2D. 2√2如图所示, 在 △P F1F2 中, 若 ∠F1P F2 = θ, 记 △P F1F2 的面积为 S, 则PbθbbxF1OF2(1) S = b2 · tan θ ;(2) △P F1F2 的面积 S 的最大值 Smax = bc;(3) 当点 P 在短轴的端点时, ∠F1P F2 最大.证明(1) 在 △P F1F2y结论二2中, 由余弦定理可知: cos θ = |P F1|2+|P F2|2−4c2 , 所以2|P F1|·|P F2|2|P F1| · |P F2| · cos θ = |P F1|2 + |P F2|2 − 4c2= (|P F1| + |P F2|) − 2|P F1| · |P F2| − 4c2= 4a2 − 2|P F1| · |P F2| − 4c2= 4b2 − 2|P F1| · |P F2|从而 |P F | · |P F | =2b2, 于是121+cos θ1b2 sin θb2·2 sin θ cos θ2θS = 2|P F1| · |P F2| · sin θ =1+cos θ =222 cos2 θ2 = b022· tan 2(2) 设点 P 的纵坐标为 yP , 则 △P F1F2 的面积S = 1 |F1F2| · |yP | = 1 · 2c · |yP | = c · |yP |当 |yP | = b 时, 即点 P 在短轴的端点时, △P F1F2 的面积 S 取得最大值 bc(3) 设点 P 的坐...