导数证明不等式的前奏曲——构造函数

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2025-05-10 发布于天津市
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万方数据中学数学杂志 2024 年第 7 期蠡。貂绠班翻彩霞≠彩铭觋缀名 g 鬏少从元为常量，构造函数令厂(茗)=o，得石=虿 1．例 5已知函数 g(菇)=xlnx，设 0<口o 时，决这类问题时，拿出一个元，视为主元，同时将另一个F’(茁)>0．元利用已知的制约条件用主元表示，再利用不等式的所以 F(x)在(0，n)上单调递减，在(a，+∞)上结构特征构造函数．单调递增．策略四二元不等式，先合理变形。再构造函数所以，(茗)有微小值 F(口)=0，又 0(1+乃)“．F(6)>F(口)=o，即 g(口)+g(6)一 2_g(堡—妄尘)>o．分析本题的证明，容易想到用二项式定理．若(再证右边)构造函数 G(石)=g(口)+g(x)一将求证的不等式适当变形，通过构造函数，用导数的29(半)一(省一 a)ln2，方法来证明，则更容易．证明因为 1(1+n)m 骨型必>贝 4 G’(石)=l 眦一 In 堡—妄兰一 ln2=lIu—ln(口+石)．!望(!±翌 2当戈>0 时，G7(茗)<0．所以 G(戈)在(0，+∞)‘，l上单调递减．．·，构造函数八石)：堕掣(菇≥2)，则厂(彳)：又 01．口)ln2．J十石评注本题中含有两个变元，因此除了定主元，所以 f(x)<0，所以以 z)在[2，+∞)上单调递减．还需略从元，即视其中一个为主元，另一个为从元。，化y．2≤m堕 g 且，Iip(1 多元问题为一元问题，故可降低思维难度，达到构造函数的目的．+m)“>(1+...

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