综上可知，命题成立．评注假如两个互质的正整数之积是一个完全平方数，则这两个正整数都是完全平方数．这一命题是我们证明此题的出发点．19．4．27★★★假如正整数、、满足．证明：数和都可以表示为两个正整数的平方和．解析巧妙运用下述命题：假如正整数可表示为两个正整数的平方和，则也可表示为两个整数的平方和．事实上，设，这里、、都是正整数．则．于是，可表示为两个整数和的平方和，命题获证．注意到，由条件有．利用已证命题，可知．记，，由可知、都是正整数，并且．若、不同为偶数，则由平方数或，可知或，这是一个矛盾．所以，、都是偶数，从而，这就是要证的结论．评注这里本质上只是恒等式的应用，在处理竞赛问题时，代数式变形能力显得十分重要．19．4．28 是否存在正整数、使得是完全平方数？解析分如下三种情形讨论：（1）若m、都是偶数，则，，所以，故此时不是完全平方数．（2）若、都是奇数，则，，所以，故此时不是完全平方数．（3）若、是一奇一偶，不妨设是奇数，是偶数，则，，所以，故此时不是完全平方数．综上所述，对于任意正整数、，正整数都不是完全平方数．评注推断一个数不是完全平方数，我们也可以用“模”的方法，例如，我们知道，偶数的平方是 4 的倍数，奇数的平方除以 4 余 1，所以，若一个整数同余 2 或者 3 模 4，则它一定不是完全平方数；类似地，若一个整数同余 2 模 3，则它一定不是完全平方数；一个整数同余 2、3 模 5，则它一定不是完全平方数等等．其实，考虑末位数也是用“模”的方法，即模 10．19．4．29★★★已知是正整数，且和都是完全平方数，求证：．解析因为，所以，只需证明：，且即可．设，，其中、都是正整数．由于是奇数，所以，，从而，于是，是奇数，所以，，即，从而．又对于任意整数，有，所以，，于是，故只能是，所以，，从而．因为（8，5）=1，所以，19．4．30—★★★个正整数若能表示为两个正整数的平方差，称为“智慧数”，比如，16 就是一个“智慧数”，从 1 开始数起，第 2024 个“智慧数”是哪个数？解析1 不是“智慧数”，大于 1 的奇正整数，都是“智慧数”．被 4 整除的偶数，有，都是“智慧数”，而 4 不能表示为两个正整数的平方差，4 不是“智慧数”．被 4 除余 2 的数，设，其中、为正整数，当、奇偶性相同时，，均为偶数，被 4 整除，而不被 4 整除，所以、奇偶性相同的假设不可能成立；当、奇偶性不同时，，均为奇数，为...
