第 33 讲 包含与排除（容斥原理）一、专题简析：集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一
如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 便组成一个数字集合
组成集合的每个事物称为这个集合的元素
如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有 10 个元素
两个集合中可以做加法运算，把两个集合 A、B 合并在一起，就组成了一个新的集合 C
计算集合 C 的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把 A、B 的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B 两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A＋B－AB
在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关系
有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算
二、精讲精练例 1 五年级 96 名学生都订了报纸，有 64 人订了少年报，有 48 人订了小学生报
两种报纸都订的有多少人
练 习 一1、一个班的 52 人都在做语文和数学作业
有 32 人做完了语文作业，有 35 人做完了数学作业
语文、数学作业都做完的有多少人
2、五年级有 122 人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优
其中语文得优的有 65 人，数学得优的有 87 人
语文、数学都得优的有多少人
例 2：某校老师至少懂得英语和日语中的一种语言
已知有 35 人懂英语，34 人懂日语，两种语言都懂的有 21 人
这个学校共有多少名老师
练 习 二1、某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动
已知有 900 人爱好体育活动，有 850 人爱好文娱活动，其中 260 人两种活动都爱好
这个学校共有学生多少人
2、某班在一次测验中有 26 人语文获优，有 30 人数学获优，其中语文、数学双优的有 12 人，另外还
