第四章向量组的线性相关性§4.1向量及其运算1.向量:个数构成的有序数组,记作,称为维行向量.––称为向量的第个分量––称为实向量(下面主要讨论实向量)––称为复向量零向量:负向量:2.线性运算:,相等:若,称.加法:数乘:减法:3.算律:,,(1)(5)(2)(6)(3)(7)(4)(8)4.列向量:个数构成的有序数组,记作,或者,称为维列向量.零向量:负向量:5.内积:设实向量,,称实数为与的内积.算律:,,(1)(2)(为常数)(3)(4)时,;时,.(5)证(5),由可得6.范数:设实向量,称实数为的范数.性质:(1)时,;时,.(2)(3)(4)证(3)证(4)7.夹角:设实向量,,称为与之间的夹角.正交:若,称与正交,记作.(1),时,;(2)或时,有意义,而无意义.单位化:若,称为与同方向的单位向量.§4.2向量组的线性相关性1.线性组合:对维向量及,若有数组使得,称为的线性组合,或可由线性表示.例1,,,判断可否由线性表示?解设,比较两端的对应分量可得,求得一组解为于是有,即可由线性表示.[注]取另一组解时,有.2.线性相关:对维向量组,若有数组不全为0,使得称向量组线性相关,否则称为线性无关.线性无关:对维向量组,仅当数组全为0时,才有称向量组线性无关,否则称为线性相关.[注]对于单个向量:若,则线性相关;若,则线性无关.例2判断例1中向量组的线性相关性.解设,比较两端的对应分量可得即.因为未知量的个数是4,而,所以有非零解,由定义知线性相关.例3已知向量组线性无关,证明向量组,,线性无关.证设,则有因为线性无关,所以,即系数行列式,该齐次方程组只有零解.故线性无关.例4判断向量组,,…,的线性相关性.解设,则有只有故线性无关.例5设两两正交且非零,证明该向量组线性无关.证设,两端与作内积可得当时,,于是有只有上式对于都成立,故线性无关.3.判定定理定理1向量组线性相关其中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.证必要性.已知线性相关,则存在不全为零,使得不妨设,则有.充分性.不妨设,则有因为不全为零,所以线性相关.定理2若向量组线性无关,线性相关,则可由线性表示,且表示式唯一.证因为线性相关,所以存在数组不全为零,使得若,则有.矛盾!故,从而有.下面证明表示式唯一:若,则有因为线性无关,所以即的表示式唯一.定理3线性相关线性相关.证因为线性相关,所以存在数组不全为零,使得数组不全为零,故线性相关.推论1含零向量的向量组线性相关.推论2向量组线性无关任意的部分组线性无关.课后作业:习题四1,2,3,4,5