第四章向量组的线性相关性§4.1向量及其运算1．向量：个数构成的有序数组,记作,称为维行向量．––称为向量的第个分量––称为实向量（下面主要讨论实向量）––称为复向量零向量：负向量：2．线性运算：,相等：若,称．加法：数乘：减法：3．算律：,,(1)(5)(2)(6)(3)(7)(4)(8)4．列向量：个数构成的有序数组,记作,或者,称为维列向量．零向量：负向量：5．内积：设实向量,,称实数为与的内积．算律：,,(1)(2)（为常数）(3)(4)时,；时,．(5)证(5),由可得6．范数：设实向量,称实数为的范数．性质：(1)时,；时,．(2)(3)(4)证(3)证(4)7．夹角：设实向量,,称为与之间的夹角．正交：若,称与正交,记作．(1),时,；(2)或时,有意义,而无意义．单位化：若,称为与同方向的单位向量．§4.2向量组的线性相关性1．线性组合：对维向量及,若有数组使得,称为的线性组合,或可由线性表示．例1,,,判断可否由线性表示?解设，比较两端的对应分量可得,求得一组解为于是有,即可由线性表示．[注]取另一组解时,有．2．线性相关：对维向量组,若有数组不全为0,使得称向量组线性相关,否则称为线性无关．线性无关：对维向量组,仅当数组全为0时,才有称向量组线性无关,否则称为线性相关．[注]对于单个向量：若,则线性相关；若,则线性无关．例2判断例1中向量组的线性相关性．解设,比较两端的对应分量可得即．因为未知量的个数是4,而,所以有非零解,由定义知线性相关．例3已知向量组线性无关,证明向量组,,线性无关．证设,则有因为线性无关,所以,即系数行列式,该齐次方程组只有零解．故线性无关．例4判断向量组,,…,的线性相关性．解设,则有只有故线性无关．例5设两两正交且非零,证明该向量组线性无关．证设,两端与作内积可得当时,,于是有只有上式对于都成立,故线性无关．3．判定定理定理1向量组线性相关其中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．证必要性．已知线性相关,则存在不全为零,使得不妨设,则有．充分性．不妨设,则有因为不全为零,所以线性相关．定理2若向量组线性无关,线性相关,则可由线性表示,且表示式唯一．证因为线性相关,所以存在数组不全为零,使得若,则有．矛盾!故,从而有．下面证明表示式唯一：若,则有因为线性无关,所以即的表示式唯一．定理3线性相关线性相关．证因为线性相关,所以存在数组不全为零,使得数组不全为零,故线性相关．推论1含零向量的向量组线性相关．推论2向量组线性无关任意的部分组线性无关．课后作业：习题四1,2,3,4,5
