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专题2 导数的综合应用测试题

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专题 2 导数的综合应用刷难题1. 已知 是自然对数的底数,,。(1)求曲线在点处的切线方程;(2)当,时,求证:。答案(1)因为,所以,,。 ......3 分所以曲线在点处的切线方程为,即。 ......6 分(2)设,则。 ......8 分设,则。因为,所以,,。所以在内单调递增。所以当时,,即。 ......10 分因为,所以。所以当时,在内单调递增。所以当,时,,即。 ......12 分解析:本题主要考查导数的计算,导数在研究函数中的应用。(1)因为曲线在点处的导数即为切线的斜率,求出的导数,结合题中条件,即可求得切线方程;(2)令,对二次求导,结合题中所给条件“,”,即可证得结论。2. 已知函数 , 的图象在 处的切线方程为 (1)求实数 a,b 的值; (2)若存在 ,使 恒成立,求 k 的最大值.解:(1)f′(x),f′(1),根据题意得 f′(1)=3,又,,综上:, (2)′(x),设,, ,g′(x),, ,,; ,是减函数; ,是增函数; , 又,, , ,, 恒成立, 所以 又,所以3. 已知函数.(Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)若有两个极值点,,证明:.解:(1),,不妨设,则关于 x 的方程的判别式,当时,,,故,函数在上单调递减,当时,,方程有两个不相等的正根,,不妨设,则当及时,当时,,在,递减,在递增;(2)由(1)知当且仅当时有极小值 和极大值,且,是方程的两个正根,则, , ,令,当时,,在内单调递减,故,.解析:(1)先求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,确定导函数的符号,从而判断函数的单调性;(2)表示出,通过求导进行证明.4.已知函数(1)求 f(x)的单调区间;(2)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(3)求证:对任意的正数 a 与 b,恒有.答案(1)先求出函数 f(x)的定义域,再求出函数 f(x)的导数和驻点,然后列表讨论,求函数 f(x)的单调区间和极值.(2)欲求在点(1,f(1))处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在 x=1 处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.(3)所证不等式等价为,而,设 t=x+1,则,由(1)结论可得,F(t)在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增,从而得到证明.解析(1) 函数∴,由 f′(x)>0⇒x>0;由 f′(x)<0⇒-1<x<0;∴f(x)的单调增区间(0,+∞),单调减区间(-1,0)(2),当 x=1 时,y'= 得切线的斜率为 ,所以 k= ;所以曲线在点(1,f(1))处的切线方程为:y-ln2+ = ×(x-1),即 x-4y+4ln2-3=0.故切线方程为 ...

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