专题2 导数的综合应用测试题

专题 2 导数的综合应用刷难题1. 已知 是自然对数的底数，，。（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当，时，求证：。答案（1）因为，所以，，。 ......3 分所以曲线在点处的切线方程为，即。 ......6 分（2）设，则。 ......8 分设，则。因为，所以，，。所以在内单调递增。所以当时，，即。 ......10 分因为，所以。所以当时，在内单调递增。所以当，时，，即。 ......12 分解析:本题主要考查导数的计算，导数在研究函数中的应用。（1）因为曲线在点处的导数即为切线的斜率，求出的导数，结合题中条件，即可求得切线方程；（2）令，对二次求导，结合题中所给条件“，”，即可证得结论。2. 已知函数 , 的图象在 处的切线方程为 (1)求实数 a,b 的值; (2)若存在 ,使 恒成立,求 k 的最大值.解:(1)f′(x),f′(1),根据题意得 f′(1)=3,又,,综上:, (2)′(x),设,, ,g′(x),, ,,; ,是减函数; ,是增函数; , 又,, , ,, 恒成立, 所以 又,所以3. 已知函数.(Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)若有两个极值点,,证明:.解:(1),,不妨设,则关于 x 的方程的判别式,当时,,,故,函数在上单调递减,当时,,方程有两个不相等的正根,,不妨设,则当及时,当时,,在,递减,在递增;(2)由(1)知当且仅当时有极小值 和极大值,且,是方程的两个正根,则, , ,令,当时,,在内单调递减,故,.解析:(1)先求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,确定导函数的符号,从而判断函数的单调性;(2)表示出,通过求导进行证明.4.已知函数（1）求 f（x）的单调区间；（2）求曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（3）求证：对任意的正数 a 与 b，恒有．答案（1）先求出函数 f（x）的定义域，再求出函数 f（x）的导数和驻点，然后列表讨论，求函数 f（x）的单调区间和极值．（2）欲求在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在 x=1 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．（3）所证不等式等价为，而，设 t=x+1，则，由（1）结论可得，F（t）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，从而得到证明．解析（1） 函数∴，由 f′（x）＞0⇒x＞0；由 f′（x）＜0⇒-1＜x＜0；∴f（x）的单调增区间（0，+∞），单调减区间（-1，0）（2），当 x=1 时，y'= 得切线的斜率为 ，所以 k= ；所以曲线在点（1，f（1））处的切线方程为：y-ln2+ = ×（x-1），即 x-4y+4ln2-3=0．故切线方程为 ...