量子力学练习题1答案一。基本概念及简要回答1.和是否相等？为什么？答：不相等。因为是动量的本证态，而是动量的本证态，实际上与代表同一个态。2．判定下列符号中，哪些是算符？哪些是数？哪些是矢量？；；；。答：是算符，，是数，是矢量。3.波函数的导数是否一定要连续？举例说明。答：不一定。例如，对于无限深势阱波函数中粒子波函数在全空间连续，但微商在和点不连续。4．为什么既不能把波理解为‘粒子的某种实际结构，即把波包看作粒子’，也不把波理解为‘由大量粒子分布于空间而形成的波，即把波看作由粒子构成的’？答：自由粒子的物质波包必然要扩散，与实验矛盾。所以不能‘把波包看作粒子’；另一方面，戴维逊-戈末实验表明电子的波动性不是很多电子在空间聚集在一起时才呈现的现象，单个电子就具有波动性，否则每次只有一个粒子，但长时间的衍射干涉就不会有干涉花样.所以不能‘把波看作由粒子构成的’。5.设，，。试判断下列算符哪些是厄米算符，哪些不是。(1);(2);(3);(4)。解：（1），，即为厄米算符。（2），不是厄米算符。（3），，即不是厄米算符。（4），，即为厄米算符。6．(9’)指出下列使用的Dirac符号那些是不正确的。为什么？A.;B.;C.;D.;E.;F..答：B，E，F不正确。B中是力学量，是态在的振幅，不能用一个点的振幅代表态。E，F不正确是因为左边是态与具体表象无关的Dirac符号态矢量，右边是有具体表象决定的波函数。7．(5’)简述态迭加原理。若，且，那么的物理意义是什么？答：迭加原理：如果，是体系的可能状态，那么它们的线性迭加（是复数）也是这个体系的一个可能状态，这就是量子力学的态迭加原理。的物理意义：在态中包含态的振幅，是包含态的几率。当是某一个算符本征值时，就是这个本征值在这个态中出现的概率。8．(5’)在一维谐振子基态得经典区域之外，粒子出现的几率也不为零，这是否意味粒子的动能可为负值？怎样解释这一结果？答：不能。因为9.(3’)确定，，哪些是厄米算符哪些不是厄米算符。答：，是厄米算符，10．指出下列使用的Dirac符号那些是不正确的。为什么？A.;B.;C.;D.;E.;F..答：B，E，F不正确。B中是力学量，是态在的振幅，不能用一个点的振幅代表态。E，F不正确是因为左边是态与具体表象无关的Dirac符号态矢量，右边是有具体表象决定的波函数。11.(5’)和是否相等？为什么？答：不相等。因为是动量的本证态，而是动量的本证态，实际上与代表同一个态。12.(5’)波函数的导数是否一定要连续？举例说明。答：不一定。例如，对于无限深势阱波函数中粒子波函数在全空间连续，但微商在和点不连续。13.(6’)如果，且，都是束缚态，则证明：这里考虑了是束缚态，因而是有限的，及。同理可证如令则，由此得。二．1、质量为的粒子处于一维谐振子势场的基态，若弹性系数突然变成，即势场变成，随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场基态的几率；(只列出详细的计算公式即可)解：粒子的波函数随时间的变化满足方程对时间区间积分得可见，当发生突变（由）、但变化量有限时，不变。以和分别表示场和场的基态波函数，当势场突然由变成后，粒子的波函数仍为。由于已变为，新势场中的基态是。于是随即测量粒子的能量，则测得粒子处于态的概率为，即粒子能量为新基态能量的概率为。将和写成标准形式：可得，又有：其中因此所求概率为2、质量为m的粒子，在阱宽为a的一维无限深势阱中运动，若t=0时，体系处于态，式中，n=1，2，3……求：（1）（5’）t=0时，及的几率（2）(5’)t>0时的波函数，能量的可能取值及相应几率。（3）若粒子处于基态，求A．（5’）粒子的动量分布（只列公式，不必计算）B．(7’)当阱宽突然变为2a时，求粒子处于新的基态的几率（只列公式，不必计算）。解：（1）的几率是(2）三个可能值分别为，和，它们相应的取值几率分别为，和（3）A．将向动量本征态展开，即B．因为阱宽度突然变为，粒子状态还来不及变化，所以粒子仍处于态，而由于阱宽度变为，新的的本征态已变，设为，，则此时处于此态几率为3、计算对易关系，其中，。解：（1）（2）同理可得;（3）;（4）三．1、已知二维谐振子的哈密顿算符为，在对其施加微扰后...
