圆与圆锥曲线的交汇性问题例析随着新课程标准的不断推进与深入，高考对解析几何的要求也随之发生了很大的变化，对圆的要求大大提高，对圆锥曲线的要求则相对降低.因此，近几年圆与圆锥曲线的交汇性问题渐渐成为高考的命题热点，此类问题不仅将圆的内容及性质纳于其中，也将对圆锥曲线的要求体现出来，是当前一种新的命题趋势.下面精选 2014 年高考中的部分试题并予以分类解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.1. 圆与椭圆的交汇性问题图 1 例 1（2014 年陕西卷文 20）如图 1，已知椭圆 x2a2+y2b2=l（a>b>0）经过点（0,3）,离心率为 12,左、右焦点分别为 F1（-c，0）、F2（c，0）.（1）求椭圆的方程；（2）若直线 l：y=-12x+m 与椭圆交于 A,B 两点，与以F1F2 为直径的圆交于 C,D 两点，且满足 IABIICDI=534，求直线 1 的方程.分析（1）构造关于 a，b，c 的方程组求解；（2）利用直线与圆的位置关系得 ICDI，将直线方程与椭圆方程联立得方程组，利用根与系数的关系得 IABI，构造关于 m 的方程求 m，进而得出直线 1 的方程.解析（1）由题设知 b=3，ca=12，b2=a2-c2，解得 a=2,b=3，c=l,・：椭圆的方程为 x24+y23=l.(2)由题设，以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2+y2=1,・：圆心到直线 1 的距离 d=2lml5,由 db>0)的左、右焦点分别为 Fl、F2，右顶点为 A，上顶点为 B，已知 IABI=32IF1F2I.(1) 求椭圆的离心率；(2) 设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 PB 为直径的圆经过点 F1，经过原点 O 的直线 1 与该圆相切.求直线 1的斜率.分析(1)直接利用 IABI=32IF1F2I 及椭圆中 a，b，c 之间的关系得到 a，c 的关系，进而求得离心率；(2)利用 F1P?F1B=0 求出 P 点坐标满足的条件，再由 P点坐标满足椭圆的方程，求出 P 点坐标，设出直线的方程,利用圆心到直线的距离等于圆的半径求解.解析(1)设椭圆右焦点 F2 的坐标为(c，0).由 IABI=32IF1F2I，可得 a2+b2=3c2.又 b2=a2-c2，则 c2a2=12，所以，椭圆的离心率 e=22.(2)由(1)知，a2=2c2，b2=c2，故椭圆方程为x22c2+y2c2=1.设 P(xO,yO),由 Fl(-c,0),B(0,c),有F1P=(xO+c,y0)，F1B=(c，c).由已知，有 F1P?F1B=O,即(xO+c)c+yOc=O.又 c#O,故有xO+yO+c=O①又因为点 P 在椭圆上,故x2O2c2+y2Oc2=1②由①和②可得 3x2O+4cxO=O,而点 P 不是椭圆的顶点,故 xO=-43c,代入①得 yO=c3,即点 P 的坐标为(-43c,c3).设圆的圆心为T(xl,yl),贝...
