函数的奇偶性一、关于函数的奇偶性的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(−x)=f(x)，那么函数f(x)就称偶函数；一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(−x)=−f(x)，那么函数f(x)就称奇函数；二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；3、可逆性：f(−x)=f(x)⇔f(x)是偶函数；f(−x)=−f(x)⇔f(x)奇函数；4、等价性：f(−x)=f(x)⇔f(−x)−f(x)=0；f(−x)=−f(x)⇔f(−x)+f(x)=0；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。7、设()fx，()gx的定义域分别是12,DD，那么在它们的公共定义域上：奇±奇＝奇（函数）偶±偶＝偶（函数）奇×奇＝偶（函数）偶×偶＝偶（函数）奇×偶＝奇（函数）8、多项式函数的奇偶性多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.9、复合函数y=f[g(x)]的奇偶性若函数f(x),g(x),f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的,那么由u=g(x),y=f(u)的奇偶性得到y=f[g(x)]的奇偶性的规律是:函数奇偶性u=g(x)奇函数奇函数偶函数偶函数y=f(u)奇函数偶函数奇函数偶函数y=f[g(x)]奇函数偶函数偶函数偶函数即当且仅当u=g(x)和y=f(u)都是奇函数时,复合函数y=f[g(x)]是奇函数.三、函数的奇偶性的判断函数奇偶性的因素有两个：定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。判断函数奇偶性的方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查是否与、f(x)相等，判断步骤如下：1、定义域是否关于原点对称；若定义域不对称，则为非奇非偶函数；若定义域对称，则有成为奇（偶）函数的可能2、数量关系f(−x)=±f(x)哪个成立；判断分段函数的奇偶性判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断，在函数定义域中，对自变量X的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数，分段函数不是几个函数，而是一个函数，因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系，首先要特别注意X与—X的范围，然后将它们代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较。四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定命题1：函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。命题2：两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如，，可以看出函数与都是定义域上的函数，它们的差只在区间上有定义且，而在此区间上函数既是奇函数又是偶函数。命题3：是任意函数，那么与都是偶函数。此命题错误。一方面，对于函数不能保证或；另一方面，对于一个任意函数而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数是偶函数。命题4：如果函数满足：，那么函数是奇函数或偶函数。此命题错误。如函数从图像上看，的图像既不关于原点对称，也不关于轴对称，故此函数非奇非偶。命题5：设f(x)是定义域关于原点对称的一个函数，则F1(x)＝f(x)＋f(－x)为偶函数，F2(x)＝f(x)－f(－x)为奇函数．此命题正确。由函数奇偶性易证。命题6：已知函数是奇函数，且有定义，则。此命题正确。由奇函数的定义易证。命题7：已知是奇函数或偶函数，方程有实根，那么方程的所有实根之和为零；若是定义在实数集上的奇函数，则方程有奇数个实根。此命题正确。方程的实数根即为函数与轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若，则。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有。故原命题成立。五、关于函数按奇偶性的分类全体实函数可按奇...
