数学竞赛中代数式最值问题的解题方略邮编：422200 作者：湖南隆回一中 邹启文 数学竞赛中最值问题，有一定难度，但只要我们去认真的分析，仔细地思考，不管问题再难，其实万变不离其宗，总离不开所学过的知识点和基本措施。如不等式法（包含非负数性质|a|≥0，a2≥0， √a ≥0，一元二次方程鉴别式△≥0，整体不小于部分等等），公式法（包括二次函数顶点坐标公式、三角函数公式、完全平方公式等等），区间取值法（包括一次函数线段端点取值与曲线在某区间内的最值求取等等），在求解措施上也有其规律性，如夹逼法、递推法、枚举法、放缩法、排序法，尚有转化为几何图形法等等。近两年来的各级各类初中数学竞赛中的最值问题，在题型上已展现出一种崭新的形势，其变化之多、波及面之广、形式之灵活可谓达到了空前的程度，同步最值的求法也有了较大的拓展，打破了原有的思维定势，但仍然是有章可循的。例 1：已知设x1、x2、x3、……xn均为持续正整数，且x1＜x2＜x3＜……＜xn，x1+x2+， x3+……+xn=，则xn的最大值是＿＿＿＿最小值＿＿＿＿（自编题）分析：这是一道须运用不等式求解的试题，由于有x1+x2+x3+……+xn=，因此应当想到这些数的平均数必与中位数靠近，于是可由此确定 x3的数值或范围。然后再求xn的最大与最小数值。解 ： 由 题 意 可 设 x1+x2+x3+……+xn=1+2+3+……+n = ， 由 高 斯 求 和 公 式 可 得n (n+1)2=2005，解得n≈63 ，但当n=63 时n (n+1)2=63 (63+1)2=63×32=2016当n=62时n (n+1)2=62 (62+1)2=31×63=1953， 1953≤≤，且n 是整数，∴n ≠62或 63，我们又观测到平均值1n ( x1+x2+x3+⋯⋯+xn)= 1n׿ ¿2005=5×401，且 5 和401 都是质数，显然n 不也许是 401，∴n 只也许是 5，故有x1+x2+x3+……+x5=又 平均数15 （x1+x2+x3+……+x5）=15×2005 =401，且x1、x2、x3、……xn均为持续正整数和x1＜ x2＜ x3＜ … … ＜ x5， 即 x3=401∴ 当 x1=399， x5=403 时 ， 恰 有399+400+401+402+403=2005，于是xn的最大值是 403，最小值 399。【注】：由于本题中关键的是平均数与中位数关系的合理运用，x1、x2 、x3 、……xn 是按从小到大的次序排列的，在否认了x1、x2 、x3 、……xn 是从 1 起的整数后，我们也可观测到x1+x2 +x3 +x4 +x5=的平均数与中位数相等，因此也可以用枚举法确定x5 =403 与x1=399 的大小，例 2、若x 、y 、z 是实数，...
