三次函数的探究及其简单应用【教学目标】利用导数分析三次函数的图象和性质，进一步提高学生运用导数分析问题的能力；通过对函数图象研究函数的性质，提高学生数形结合、分类整合的能力；通过类比一次函数、二次函数的性质探究三次函数的图象和性质，进一步培养学生合情推理的能力；渗透从特殊到一般，再由一般到特殊的认识过程；通过小组合作提高学生合作能力，通过共同探究，进一步提高学生探究能力；通过归纳总结提升学生归纳能力.【教学重点】三次函数图象和性质的探究【教学难点】对三次函数的系数多个参数的讨论，各参数对函数图象和性质的影响，利用TI图形计算器和小组合作探究讨论形式化解难点.【教学用具】TI图形计算器；计算机（几何画板）【教学过程】一、回顾联想：看表格一和图形计算器程序1.3页，我们曾经研究过一次函数：，回顾对函数图象和性质的影响；（点击¡¢调节游标a,b值的大小）二次函数：，回顾对函数图象和性质的的影响。——————5分钟转到1.4页，利用图形计算器的演示，带着学生回顾一次二次函数的图象和性质，从函数的定义域、奇偶性、单调性、值域、对称性、零点、极值点、纵截距等方面进行归纳，从而引出三次函数.（点击¡¢调节游标a,b,c值的大小）二、引入探究：1、三次函数定义：形如的函数我们称为三次函数.2、下面研究三次函数的性质和图象，对函数图象和性质有何影响呢？分析：参数中哪一个好研究？其它的参数可以影响到函数的那些性质？利用表格二和图形计算器程序1.5页，小组讨论探究三次函数在定义域、奇偶性、单调性、值域、零点、极值点、对称性方面进行讨论，小组讨论快的组还可以自己开发探究内容。利用TI辅助猜想验证，分析三次函数图象的大致趋势有哪些？如何分类？—————小组合作讨论10分钟—————小组归纳总结10分钟（点击¡¢调节游标a,b值的大小）三、归纳总结：1、知识层面；（1）关键点：函数与轴的交点；函数的极值点等（2）函数图像的整体走势：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等性质；无穷远处函数的取值趋势。用图像作为我们思维的引导，可以帮助我们更好地解决函数相关问题。2、思想方法层面：（1）利用导数作为工具进行函数性质的探究；（2）合理确定分类点，恰当分类整合3、应用：函数探究的内容可以拓展到函数对应的方程的根的个数，进而拓展到直线和抛物线与三次函数图象交点的个数，进一步还可以拓展到不等式解集形式的探究，过一点的直线与三次函数相切的切线条数的探究.【练习】1、判断下列三次函数各图象中的a,b,c,d的符号：BDCA（1）（2）（3）（4）-22xyO21xyO（1）（2）1-3xyOxyO（3）（4）ABCD2、若函数，在上为单调函数，则a的取值范围为.答案：3、讨论方程的根的个数.变式：讨论方程在[-2,2]上的根的个数变式：当时，方程有唯一解，求k的取值范围若改为呢？4、若函数f(x)=(x－a)(x－b)(x－c)是R上的增函数，则函数f(x)的图象的对称中心为 f(x)是R上的单调函数，∴f′(x)≥0，对x∈R恒成立，即3x2－2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)≥0对x∈R恒成立．∴△≤0,4(a+b+c)2－12(ab+bc+ca)≤0，∴(a－b)2＋(a－c）2＋(b－c)2≤0，∴a=b=c．∴f(x)=(x－a)3，∴f(x)关于点(a，0)对称．证明如下：设点P(x，y)是f(x)=(x－a)3图像上的任意一点，y=(x－a)3，点P关于点(a，0)对称的点P′(2a－x，－y)， (2a－x－a)3=(2a－x)3=－(x－2a)3=－y，∴点P′在函数f(x)=(x－a)3的图像上，即函数f(x)=(x－a)3关于点(a，0)对称．5、已知函数，若存在使得对一切都成立，求a的取值范围。6、函数若恒成立,求实数的取值范围．解：由，得单调递增；又，所以是奇函数．，在上单调递增，恒成立，即：恒成立，分类：①当恒成立，适合；②当恒成立解得：综上，实验报告二探究：三次函数的图象和性质表格一：回顾一次函数和二次函数的图象和性质一次函数二次函数函数图象定义域奇偶性值域单调性极值点零点纵截距对称性参数对函数图象和性质的影响表格二：探究三次函数的图象和性质定义域奇偶性图象值域单调性极值点极值点与参数关系零点纵截距对称性参数对函数图象和性质的影响实验报告二探究：三次函数的图象和性质表格一...
