考点一三角函数的图象及其变换1．(2015·山东，3)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象()A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位解析 y＝sin＝sin，∴要得到y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象向右平移个单位．答案B2．(2015·湖南，9)将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝()A.B.C.D.解析易知g(x)＝sin(2x－2φ)，φ∈，由|f(x1)－f(x2)|＝2及正弦函数的有界性知，①或②由①知(k1，k2∈Z)，∴|x1－x2|min＝＝，由φ∈，∴＋φ＝，∴φ＝，同理由②得φ＝.故选D.答案D3．(2014·浙江，4)为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图象，可以将函数y＝cos3x的图象()A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位解析因为y＝sin3x＋cos3x＝cos＝cos3，所以将函数y＝cos3x的图象向右平移个单位后，可得到y＝cos的图象，故选C.答案C4．(2014·辽宁，9)将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数()A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增解析将y＝3sin的图象向右平移个单位长度后得到y＝3sin，即y＝3sin的图象，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，化简可得x∈，k∈Z，即函数y＝3sin的单调递增区间为，k∈Z，令k＝0，可得y＝3sin(2x－)在区间上单调递增，故选B.答案B5．(2013·四川，5)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是()A．2，－B．2，－C．4，－D．4，解析因为＝－＝，所以T＝π.由此可得T＝＝π，解得ω＝2，由图象知当x＝时，2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ－(k∈Z)．又因为－<φ<，所以φ＝－.答案A6．(2012·浙江，4)把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()解析y＝cos2x＋1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y1＝cosx＋1，再向左平移1个单位长度得y2＝cos(x＋1)＋1，再向下平移1个单位长度得y3＝cos(x＋1)，故相应的图象为A项．答案A7．(2011·辽宁，16)已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图，则f＝________．解析由题意，结合图象知函数周期T＝×2＝，∴ω＝2.由2×＋φ＝kπ(k∈Z)及|φ|＜，得φ＝.∴f(x)＝Atan.将点(0，1)代入上式，得1＝Atan，∴A＝1，即f(x)＝tan.故f＝tan＝tan＝.答案8．(2015·福建，19)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)＝cosx的图象经如下变换得到：先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移个单位长度．(1)求函数f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x的方程f(x)＋g(x)＝m在[0，2π)内有两个不同的解α，β.①求实数m的取值范围；②证明：cos(α－β)＝－1.解法一(1)将g(x)＝cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y＝2cosx的图象，再将y＝2cosx的图象向右平移个单位长度后得到y＝2cos的图象，故f(x)＝2sinx．从而函数f(x)＝2sinx图象的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z)．(2)①f(x)＋g(x)＝2sinx＋cosx＝＝sin(x＋φ).依题意，sin(x＋φ)＝在[0，2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当＜1，故m的取值范围是(－，)．②证明因为α，β是方程sin(x＋φ)＝m在[0，2π)内的两个不同的解．所以sin(α＋φ)＝，sin(β＋φ)＝.当1≤m＜时，α＋β＝2，即α－β＝π－2(β＋φ)；当－＜m＜1时，α＋β＝2，即α－β＝3π－2(β＋φ)．所以cos(α－β)＝－cos2(β＋φ)＝2sin2(β＋φ)－1＝2－1＝－1.法二(1)解同法一．(2)①解同法一．②证明因为α，β是方程sin(x＋φ)＝m在[0，2π)内的两个不同的解，所以sin(α＋φ)＝，sin(β＋φ)＝.当1≤m＜时，α＋β＝2，即α＋φ＝π－(β＋φ)；当－＜m＜1时，α＋β＝2，即α＋φ＝3π－(β＋φ)；所以cos(α＋φ)＝－cos(β＋φ)．于是cos(α－β)＝cos[(α＋φ)－(β＋φ)]＝cos(α＋φ)cos(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)＝－cos2(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)...
